Теоретический материал

Октаэдр – один из пяти правильных многогранников, имеющий 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин. Каждая его вершина является вершиной четырёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

В природе, в науке, в жизни этот многогранник встречается довольно часто: он находит применение в объяснении структуры и форм Вселенной, в строении ДНК и нанотехнологиях, в создании игр-головоломок.

Но чаще всего он встречается, пожалуй, в первом – в природе. А именно, в строении кристаллов. Форму октаэдра имеют кристаллы алмаза, перовскита, оливина, флюорита, шпинели, алюминиево-калиевых квасцов, медного купороса и даже хлорида натрия и золота!

Многогранники также используются в живописи. Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

Рис. 7. Гравюра «Звезды» Эшера

Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

Заключение

В ходе данной работы было рассмотрено понятие правильных многогранников, мы узнали, что многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) все его двугранные равны; 4) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Рассмотрев историю возникновения платоновых тел, мы узнали, что всего существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их названия из Древней Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник".

Использованная литература и источники позволили более глубоко рассмотреть данную тему.

Проанализировав подробнее икосаэдр и октаэдр, а также их применение в различных областях, мы увидели, что изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр среди кристаллических форм не встречается, но его можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе о том, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников.

Список литературы

1. Александров А. Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1992 – 464 с.

2. Атанасян Л.С и другие. Геометрия 10 - 11.- М.: Просвещение, 2003.

3. Василевский А.Б. Параллельные проекции.- Москва, 2012.

4. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М.: Просвещение, 2002.

5. Гончар В. В. Модели многогранников. – М.: Аким, 1997. – 64 с.

6. Дитяткин В.Г. Леонардо да Винчи.- М.: Москва, 2002.

7. Евклид. Начала.- В 3 т. М.; Л.; 1948 – 1950.

8. Математика: Школьная энциклопедия / гл. ред. Никольский С. М. – М.: Научное изд. «Большая Российская энциклопедия», 1996

9. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - Москва, 1999.

10. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с.

11. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия, 10-11 классы: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни). – М.: Мнемозина, 2009

Приложение 1

Космологическая концепция правильных многогранников Платона

ОГОНЬ	ТЕТРАЭДР
ВОДА	ИКОСАЭДР
ВОЗДУХ	ОКТАЭДР
ЗЕМЛЯ	ГЕКСАЭДР
ВСЕЛЕННАЯ	ДОДЕКАЭДР

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Размеры

Если длина ребра октаэдра равна а , то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

r u = a 2 2 ≈ 0.7071067 ⋅ a {\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.7071067\cdot a} ,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

r i = a 6 6 ≈ 0.4082482 ⋅ a . {\displaystyle r_{i}={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}\approx 0.4082482\cdot a.} Ортогональные проекции

Центрированы	Ребром	Нормалью к грани	Вершиной	Гранью
Образ
Проективная симметрия

Сферическая мозаика

Октаэдр можно представить, как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция конформна , сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.

	треугольно -центрированная
Ортогональная проекция	Стереографическая проекция

Декартовы координаты

Октаэдр с длиной ребра 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координаты вершин тогда будут

(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона , октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой . Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде .

• Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
• Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия

Имеется 3 однородных раскрашивания октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является O h с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа . В подгруппы этой группы входят D 3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы , D 4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды , и T d (порядка 24), группа симметрии . Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.

Название	Октаэдр	Полностью усечённый тетраэдр (Тетратетраэдр)	Треугольная антипризма	Квадратная бипирамида	Ромбическая бипирамида
Рисунок (Раскраска граней)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Диаграмма Коксетера		=

Пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки ин-те-ре-со-ва-ли мно-гих ве-ли-ких учё-ных. И этот ин-те-рес вы-хо-дил да-ле-ко за пре-де-лы ма-те-ма-ти-ки. Пла-тон (427 до н.э. - 347 до н.э.) рас-смат-ри-вал их как ос-но-ву стро-е-ния Все-лен-ной, Кеплер (1571-1630) пы-тал-ся свя-зать пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки с дви-же-ни-ем планет Сол-неч-ной си-сте-мы (ко-то-рых в его вре-мя бы-ло из-вест-но пять). Воз-мож-но, имен-но кра-со-та и гар-мо-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков за-став-ля-ла ве-ли-ких учё-ных про-шло-го пред-по-ла-гать ка-кое-то бо-лее глу-бо-кое их на-зна-че-ние, чем про-сто гео-мет-ри-че-ских объ-ек-тов.

Пра-виль-ным мно-го-гран-ни-ком на-зы-ва-ет-ся мно-го-гран-ник, все гра-ни ко-то-ро-го суть пра-виль-ные мно-го-уголь-ни-ки, все плос-кие уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой и дву-гран-ные уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой. (Плос-ки-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы мно-го-уголь-ни-ков-гра-ней, дву-гран-ны-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы меж-ду гра-ня-ми, име-ю-щи-ми об-щее реб-ро.)

За-ме-тим, что из это-го опре-де-ле-ния ав-то-ма-ти-че-ски сле-ду-ет вы-пук-лость пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка, ко-то-рая в неко-то-рых кни-гах вклю-ча-ет-ся в опре-де-ле-ние.

В трёх-мер-ном про-стран-стве су-ще-ству-ет ров-но пять пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков: тет-ра-эдр, ок-та-эдр, куб (гек-са-эдр), ико-са-эдр, до-де-ка-эдр. То, что дру-гих пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков не су-ще-ству-ет, бы-ло до-ка-за-но Ев-кли-дом (око-ло 300 г. до н.э.) в его ве-ли-ких На-ча-лах.

Ана-ло-гич-ное по-стро-е-ние при-ме-ни-мо и в бо-лее об-щем слу-чае. Рас-смот-рим про-из-воль-ный вы-пук-лый мно-го-гран-ник и возь-мём точ-ки в се-ре-ди-нах его гра-ней. Со-еди-ним меж-ду со-бой точ-ки со-сед-них гра-ней от-рез-ка-ми. То-гда точ-ки яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми, от-рез-ки - рёб-ра-ми, а мно-го-уголь-ни-ки, ко-то-рые огра-ни-чи-ва-ют эти от-рез-ки, гра-ня-ми ещё од-но-го вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка. Этот мно-го-гран-ник на-зы-ва-ет-ся двой-ствен-ны-ми к ис-ход-но-му.

Как бы-ло по-ка-за-но вы-ше, двой-ствен-ным к тет-ра-эд-ру яв-ля-ет-ся тет-ра-эдр.

Уве-ли-чим раз-мер тет-ра-эд-ра, вер-ши-на-ми ко-то-ро-го яв-ля-ют-ся се-ре-ди-ны гра-ней ис-ход-но-го тет-ра-эд-ра, до раз-ме-ров по-след-не-го. Во-семь вер-шин так рас-по-ло-жен-ных тет-ра-эд-ров яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ку-ба .

Пе-ре-се-че-ни-ем этих тет-ра-эд-ров яв-ля-ет-ся ещё один пра-виль-ный мно-го-гран-ник - ок-та-эдр (от греч. οκτώ - во-семь). Ок-та-эдр име-ет 8 тре-уголь-ных гра-ней, 6 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ок-та-эд-ра рав-ны $\pi/3$, по-сколь-ку его гра-ни яв-ля-ют-ся пра-виль-ны-ми тре-уголь-ни-ка-ми, дву-гран-ные уг-лы рав-ны $\arccos(–1/3) ≈ 109{,}47^\circ$.

От-ме-тим се-ре-ди-ны гра-ней ок-та-эд-ра и пе-рей-дём к двой-ствен-но-му к ок-та-эд-ру мно-го-гран-ни-ку. Это - куб или гек-са-эдр (от греч. εξά - шесть). У ку-ба гра-ни яв-ля-ют-ся квад-ра-та-ми. Он име-ет 6 гра-ней, 8 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ку-ба рав-ны $\pi/2$, дву-гран-ные уг-лы так-же рав-ны $\pi/2$.

Ес-ли взять точ-ки на се-ре-ди-нах гра-ней ку-ба и рас-смот-реть двой-ствен-ный к нему мно-го-гран-ник, то мож-но убе-дить-ся, что им сно-ва бу-дет ок-та-эдр. Вер-но и бо-лее об-щее утвер-жде-ние: ес-ли для вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка по-стро-ить двой-ствен-ный, а за-тем двой-ствен-ный к двой-ствен-но-му, то им бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник (с точ-но-стью до по-до-бия).

Возь-мём на рёб-рах ок-та-эд-ра по точ-ке , с тем усло-ви-ем, чтобы каж-дая де-ли-ла реб-ро в со-от-но-ше-нии $1:(\sqrt5+1)/2$ (зо-ло-тое се-че-ние) и при этом точ-ки, при-над-ле-жа-щие од-ной гра-ни, яв-ля-лись вер-ши-на-ми пра-виль-но-го тре-уголь-ни-ка. По-лу-чен-ные 12 то-чек яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - ико-са-эд-ра (от греч. είκοσι - два-дцать). Ико-са-эдр - это пра-виль-ный мно-го-гран-ник, у ко-то-ро-го 20 тре-уголь-ных гра-ней. Он име-ет 12 вер-шин, 30 рё-бер. Плос-кие уг-лы ико-са-эд-ра рав-ны $\pi/3$, дву-гран-ные рав-ны $\arccos(–1/3\cdot\sqrt5) ≈ 138{,}19^\circ$.

Ико-са-эдр мож-но впи-сать в куб. На каж-дой гра-ни ку-ба при этом ока-жет-ся по две вер-ши-ны ико-са-эд-ра.

По-вер-нём ико-са-эдр, «по-ста-вив» его на вер-ши-ну, и по-лу-чив его бо-лее при-выч-ный вид : две шап-ки из пя-ти тре-уголь-ни-ков у юж-но-го и се-вер-но-го по-лю-сов и сред-ний слой, со-сто-я-щий из де-ся-ти тре-уголь-ни-ков.

Се-ре-ди-ны гра-ней ико-са-эд-ра яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - до-де-ка-эд-ра (от греч. δώδεκα - две-на-дцать). Гра-ни до-де-ка-эд-ра суть пра-виль-ные пя-ти-уголь-ни-ки. Та-ким об-ра-зом, его плос-кие уг-лы рав-ны $3\pi/5$. У до-де-ка-эд-ра 12 гра-ней, 20 вер-шин, 30 рё-бер. Дву-гран-ные уг-лы до-де-ка-эд-ра рав-ны $\arccos(–1/5\cdot\sqrt5) ≈116{,}57^\circ$.

Взяв се-ре-ди-ны гра-ней до-де-ка-эд-ра, и пе-рей-дя к двой-ствен-но-му ему мно-го-гран-ни-ку, по-лу-чим сно-ва ико-са-эдр. Итак, ико-са-эдр и до-де-ка-эдр двой-ствен-ны друг дру-гу. Это ещё раз ил-лю-стри-ру-ет тот факт, что двой-ствен-ным к двой-ствен-но-му бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник.

За-ме-тим, что при пе-ре-хо-де к двой-ствен-но-му мно-го-гран-ни-ку, вер-ши-ны ис-ход-но-го мно-го-гран-ни-ка со-от-вет-ству-ют гра-ням двой-ствен-но-го, рёб-ра - рёб-рам двой-ствен-но-го, а гра-ни - вер-ши-нам двой-ствен-но-го мно-го-гран-ни-ка. Ес-ли у ико-са-эд-ра 20 гра-ней, зна-чит у двой-ствен-но-го ему до-де-ка-эд-ра 20 вер-шин и у них оди-на-ко-вое чис-ло рё-бер, ес-ли у ку-ба 8 вер-шин, то у двой-ствен-но-го ему ок-та-эд-ра 8 гра-ней.

Су-ще-ству-ют раз-лич-ные спо-со-бы впи-сы-ва-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков друг в дру-га, при-во-дя-щие ко мно-гим за-ме-ча-тель-ным кон-струк-ци-ям. Ин-те-рес-ные и кра-си-вые мно-го-гран-ни-ки по-лу-ча-ют-ся так-же при объ-еди-не-нии и пе-ре-се-че-нии пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков.

В до-де-ка-эдр впи-шем куб так, чтобы все 8 вер-шин ку-ба сов-па-да-ли с вер-ши-на-ми до-де-ка-эд-ра. Во-круг до-де-ка-эд-ра опи-шем ико-са-эдр так, чтобы его вер-ши-ны ока-за-лись в се-ре-ди-нах гра-ней ико-са-эд-ра. Во-круг ико-са-эд-ра опи-шем ок-та-эдр , так, чтобы вер-ши-ны ико-са-эд-ра ле-жа-ли на рёб-рах ок-та-эд-ра. На-ко-нец, во-круг ок-та-эд-ра опи-шем тет-ра-эдр так, чтобы вер-ши-ны ок-та-эд-ра по-па-ли на се-ре-ди-ны рё-бер тет-ра-эд-ра.

Та-кую кон-струк-цию из ку-соч-ков сло-ман-ных де-ре-вян-ных лыж-ных па-лок сде-лал ещё ре-бён-ком бу-ду-щий ве-ли-кий ма-те-ма-тик XX ве-ка В. И. Ар-нольд. Вла-ди-мир Иго-ре-вич хра-нил её дол-гие го-ды, а за-тем от-дал в ла-бо-ра-то-рию по-пуля-ри-за-ции и про-па-ган-ды ма-те-ма-ти-ки Ма-те-ма-ти-че-ско-го ин-сти-ту-та им. В. А. Стек-ло-ва.

Ли-те-ра-ту-ра

Г. С. М. Кокс-тер. Вве-де-ние в гео-мет-рию. - М.: На-у-ка, 1966.

Ж. Ада-мар. Эле-мен-тар-ная гео-мет-рия. Ч. 2. Сте-рео-мет-рия. - М.: Про-све-ще-ние, 1951.

Ев-клид. На-ча-ла Ев-кли-да. Кни-ги XXI-XXV. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Геометр. тело, ограниченное 8 равносторонними треугольниками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. ОКТАЭДР греч. oktaedros, от okto, восемь, и hedra, основание. Восьмигранник. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

Многогранник, восьмигранник Словарь русских синонимов. октаэдр сущ., кол во синонимов: 2 восьмигранник (2) … Словарь синонимов

октаэдр - а, м. octaèdre m. < octaedron. Правильный восьмигранник, тело, ограниченное восемью треугольниками. СИС 1954. В октаедрах. Витт Пром. хим. 1848 2 187. Из кристаллических форм <металлов> преобладают кубы и в особенности октаэдры. МБ 1900… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

- (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Современная энциклопедия

- (от греч. okto восемь и hedra грань) один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра) … Большой Энциклопедический словарь

ОКТАЭДР, октаэдра, муж. (от греч. okto восемь и hedra основание). Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Одна из форм структурной организации вирусов (бактериофагов), вирионы которых представляют собой правильный многогранник с 8 гранями и 6 вершинами. (Источник: «Микробиология: словарь терминов», Фирсов Н.Н., М: Дрофа, 2006 г.) … Словарь микробиологии

- [όχτώ (ξкто) восемь; έδρα (γедра) грань] замкнутый восьмигранник с гранями в виде правильных треугольников. Символ О. {111}. См. Формы кристаллов простые высшей (кубической) сингонии.… … Геологическая энциклопедия

октаэдр - — [Англо русский геммологический словарь. Красноярск, КрасБерри. 2007.] Тематики геммология и ювелирное производство EN octahedron … Справочник технического переводчика

Октаэдр - (от греческого okto восемь и hedra сиденье, плоскость, грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 рёбер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра). … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Книги

• Волшебные грани № 15. Звездчатый октаэдр. Звездчатый многогранник , . Набор для сборки многогранника "Звёздчатый октаэдр" . Размеры готового многогранника, собранного из набора: 170x180x200 мм. Уровень сложности -"Старт" (не требует опыта и дополнительных…
• Волшебные грани № 21. Архимедовы тела. Часть 2 , . Специальный выпуск. Архимедовы тела. Два многогранника в одном наборе. Наборы для сборки многогранников: 171;Архимедовы тела: ромбо-кубо-октаэдр, ромбо-усечённый кубо-октаэдр 187;.…

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань - основание пирамиды - произвольный многоугольник, а остальные - боковые грани - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды . Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник - тетраэдр. Четырехугольная - пятигранник и т.д.

Пирамида Усеченная Пирамида

SO – высота пирамиды ОО1 – высота пирамиды

SF – апофема пирамиды Ff – апофема пирамиды

Свойства пирамиды:

Если все боковые рёбра равны , то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом , то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны.

Тетраэдр - правильный многогранник, имеет 4 грани, которые являются правильными треугольниками. Вершин у тетраэдра 4 , к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6 . Также тетраэдр является пирамидой.

Свойства тетраэдра:

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

Призма - это многогранник, у которого две грани (основания призмы) - равные многоугольники с соотвественно параллельными сторонами. Остальные грани - параллелограммы, плоскости которых параллельны одной прямой.

Наклонная призма Прямая призма

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то - призма прямая . Если нет - призма наклонная . Если в прямой призме основание - правильный многоугольник - призма правильная .

Свойства призмы:

• Основания призмы являются равными многоугольниками.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
• Углы перпендикулярного сечения - это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням

Параллелепипед - это призма, основание которой - параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали. Все диагонали Параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Основанием параллелепипеда может быть любая грань.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым . Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней прямоугольники называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом или правильным гексаэдром . Все ребра куба равны.

Свойства параллелепипеда:

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Октаэдр

У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Свойства октаэдра:

• Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
• Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
• Правильный октаэдр имеет симметрию O h , совпадающую с симметрией куба.

Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Икосаэдр - правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.