Стереометрия. Предмет стереометрии

"Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей"

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a ∥c и b ∥c , то a ∥b ).

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.	Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)	Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Стереометрия

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» - «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» - «измеряю») - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии - свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

• На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
• В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
• Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
• Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
• Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
• Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
  1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
  2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
• Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.

Литература

• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. - М.: Наука, 1989.
• И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. - 160 с. (Библиотечка «Квант», Выпуск 31).

Разделы математики Анализ Классический анализ Теория функций Дифференциальные и
интегральные уравнения Геометрия и топология Геометрия Топология Дискретная математика

• Портал «Математика»
• Категория «Математика»

Какие основные понятия и аксиомы стереометрии

Грустный мир

А1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и проитом тока одна.
А2 Если 2 точ прямой лежат в плоскости то все точ. этой прямой лежат в плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общию прямую на которой лежать все общие точки.

Следствия:
1. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Юрий малихов

Тут нужно уточнить. Любое из этих трех высказываний можно взять исходно за аксиому. Тогда остальные два будут теоремами, доказываемыми на основе взятой аксиомы:
1. Через любые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом тока одна.
2. Через прямую и нележащию на ней точку проходит одна плоскость.
3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом тока одна.

Алексей рябчиков

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура - плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые - строчными латинскими буквами а, Ь, с И т. д. или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, Р, Y и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области.
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже они обозначены А:, А1, А2. A3.
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертая "точка") не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки "ровности" чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет."
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» - объёмный, пространственный и «метро» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.

Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а

Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом (III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ:

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др. При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.

Большинство пространственных фигур представляют собой абстракцию различных предметов. Изучение стереометрии включает не только усвоение некоторых фактов и понятий, но владение математическими методами, которые применяются для обоснования этих фактов. Обратим внимание на структуру стереометрии, как учебного курса. Стереометрия строится следующим образом:

• перечисляются исходные понятия, которые принимаются без определения;
• приводится список аксиом;
• при помощи исходных понятий даются определения другим геометрическим понятиям;
• на основании аксиом и определений доказываются теоремы.

Исходными понятиями стереометрии являются следующих три понятия: «точка», «расстояние между точками», «плоскость». С их помощью определяются и другие понятия стереометрии. Определить понятие (дать ему определение) – это значит указать его существенные, характерные особенности, указать признаки. Некоторые из этих признаков являются признаками сходства и устанавливают связь данного понятия с другими, уже известными понятиями; иные – признаки различия, указывающие на особенные свойства данных понятий.

Исходным геометрическим понятием непосредственно определение не даётся. Их нельзя свести и каким-либо другим понятиям в принятой системе изложения. Но это не значит, что они остаются совершенно неопределёнными. Они обозначаются косвенно, через перечисление некоторых признаков и свойств в аксиомах. С помощью аксиом логическим путём выводятся другие свойства геометрических понятий. Утверждения такого рода называются теоремами, а рассуждения, в ходе которых они устанавливаются – доказательствами.

Приведём некоторые обозначения, применяемые в стереометрии:

α, β, γ, … – обозначения плоскостейα, β, γ…;

А, В, С,… – точки;

а, b, с,… – прямые;

А = В, а = b, α = β – точки А и В совпадают, прямые а и b совпадают, плоскости α и β совпадают;

А ≠ В, а ≠ b, α ≠ β – точки А и В не совпадают, прямые а и b не совпадают, плоскости α и β не совпадают;

А Є а, А Є α – точка А принадлежит прямой а, точка А принадлежит плоскости α;

А Ȼ а, А Ȼ α – точка А не принадлежит прямой а, точка А не принадлежит плоскости α.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На этом уроке мы дадим определение геометрии как науке и ее подразделам: планиметрии и стереометрии. Дадим определение геометрических фигур и рассмотрим основные геометрические фигуры. Далее мы рассмотрим геометрические обозначения фигур и три основных аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве и решим несколько простых задач на их применение.

А, В, С, D - точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = , CD = b - прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

Плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В . Прямая может быть также обозначена как АВ .

Рассмотрим прямую b , на ней лежат точки С и D . Прямая b может быть также обозначена как СD .

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .

Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая не принадлежит плоскости : .

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пояснение к аксиоме А1.

Рассмотрим три точки: А, В, С , причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.

Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).

Аксиома утверждает - все точки прямой (прямой АВ ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М , то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

Задания 2, 4 на стр. 9.

Перечислите известные вам аксиомы стереометрии.

2. Дан куб .

В каких плоскостях лежат прямые:

б) AC 1

3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости

а) ABC и ABB 1

б) DCC 1 и BB 1 C .

Лекция по теме «Предмет стереометрии»

Предмет стереометрии

Геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур.

Школьный курс геометрии подразделяется на два раздела: планиметрию и стереометрию.

Планиметрия – раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур на плоскости.

Планиметрию мы изучали в 7-9 классах.

В этом году мы начинаем изучать второй раздел геометрии - стереометрию

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур в пространстве.

Слово "стереометрия" происходит от греческих слов "стереос" объемный, пространственный и "метрио" измерять.

В стереометрии рассматриваются математические модели тех материальных объектов, с которыми имеют дело архитекторы, конструкторы, строители и другие специалисты.

Кроме того, школьный курс стереометрии служит основой для черчения и начертательной геометрии – важнейших дисциплин любого технического вуза.

Основные фигуры стереометрии

Итак, стереометрия изучает свойства геометрических фигур в пространстве.

Геометрических фигур в пространстве.

называют телами.

В стереометрии мы будем изучать свойства геометрических тел, вычислять их площади и объемы.

При изучении пространственных фигур используются их изображение на чертеже.

Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.

Обычно выбирают то из них, которое наиболее удобно для исследования ее свойств.

На экране вы видите многогранники – куб, параллелепипед и пирамида, тела вращения – шар, конус и цилиндр.

При изображении пространственных фигур невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями.

С чего начинается стереометрия?

Также как планиметрия.

Планиметрию мы начинали изучать с основных понятий, фигур и аксиом.

Основные понятия стереометрии

Во-первых, это точка и прямая, как в планиметрии. И еще добавляется плоскость.

Итак, основными понятиями стереометрии являются: тоска, прямая, плоскость. Они принимаются без определений.

Новым для нас понятием является плоскость.

Плоскость, как и прямая в планиметрии, бесконечна. Она простирается во все стороны на неограниченное расстояние.

Геометрическими моделями части плоскости являются, например, поверхность стола, доски и т. д.

Изображают плоскости в виде параллелограмма, либо в виде произвольной области.

Обозначение, которые мы будем применять.

Точки. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами A , B , C ….

На экране изображены 4 точки. Они обозначены буквами A , B , C и D

Прямые. Прямые обозначают строчными латинскими буквами a , b , c …, или двумя прописными латинскими буквами AB , CD , …

Во втором случае используются обозначения

двух точек, через которые прямая проходит.

На экране вы видите прямую a . На ней лежат точки M и N .

Прямая a может быть также обозначена как MN .

Плоскости. Плоскости обычно обозначают строчными греческими буквами (альфа, бета, гамма, дельта, …)

Плоскости также можно называть по трем точкам, через которые плоскости проходят.

Например, на экране плоскость синего цвета обозначена как α, она же может называться ABC .

Плоскость бежевого цвета обозначена β, она же может быть обозначена как KLN или KLM . Берутся любые три точки, через которые плоскость проходит.

Так же, как и в планиметрии, в стереометрии мы будем применять для точек знак: (принадлежит плоскости), а для прямых знак: (лежит в плоскости).

Перечеркнутые знаки означают отрицание – не принадлежит плоскости, не лежит в плоскости.

На рисунке вы видите, что две точки A и B принадлежат плоскости α (плоскость проходит через эти точки), а точки M, N, K не принадлежат этой плоскости (плоскость не проходит через эти точки).

Коротко это записывается так:

Точка А принадлежит плоскости α, точка B принадлежит плоскости α.

Точка M N не принадлежит плоскости α, точка K не принадлежит плоскости α.

На этом уроке мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрией.

Узнали, что основными понятиями стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Вспомнили, как изображаются точки и прямые. Узнали как изображается и обозначается плоскость.

Переходим к решению задач.

Задача 1.

Дано:

Точки A , B , C и D не лежащие в одной плоскости.

Указать плоскости, которым принадлежит:

а) прямая AB ;

б) точка F ;

в) точка C .

Решение.

а) Прямая AB лежит в двух плоскостях: ABC и ABD ;

б) Точка F принадлежит плоскостям: ABC и BCD ;

в) Точка C принадлежит трем плоскостям: ABC , BCD , ACD .