Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019). Инженерный калькулятор

Инструкция

Примечание: π записывается как pi ; корень квадратный как sqrt() .

Шаг 1. В ячейки запишите число и степень.

Шаг 2. Нажмите кнопку “Возвести”.

Шаг 3. Получите результат.

Вводить можно любое число. Если в водите десятичную дробь, тогда нужно употреблять точку (2.56), а если обыкновенную дробь, тогда вводится знак “/” (2/3).

Как возвести число в степень

Возведение числа в степень – это умножение заданного числа само на себя столько раз, в какой степени оно находится. Рассмотрим на простом примере. Нам надо возвести в степень 3 цифру 7. Пример записывается так: . В ашем примере цифра 7 – это основание, а 3 – степень. Значит умножаем: 7 * 7 * 7 = 343.

Кроме того, можно возводить числа и в отрицательную степень. Для этого вспомним правило: . Всё довольно-таки просто, нужно поделить “1” на основание в указанной степени, но без знака минус. Таким образом наш пример примет другое выражение, если степень будет “-3”. Итак, возводим . Получается: = или 0,002 (1 поделили на 343).

Можно возводить только в целые положительные степени. Для этого нажмите клавишу [C], введите число, а затем нажмите клавиши [X] и [=]. Число будет возведено в степень 2. Последующие нажатия клавиши [=] приведут к возведению введенного вами числа в степени 3, 4, 5, и так далее, до тех пор, пока не произойдет переполнение разрядной сетки. В последнем случае на индикаторе включится сегмент E или ERROR, а считать результат достоверным будет нельзя.

Если показатель степени значителен, подсчитывать нажатия клавиши [=] можно при помощи второго калькулятора. Последовательно нажмите на нем клавиши , [+] и [=]. Последующие нажатия на клавишу [=] приведут к появлению на индикаторе чисел 2, 3, 4, 5, и так далее. Остается нажимать клавиши [=] на обоих калькуляторах синхронно с таким расчетом, чтобы показания индикатора второго прибора соответствовали степени, в которую возведено число на первом.

Для возведения в степень на научном калькуляторе с обратной польской записью вначале нажмите клавишу [C], затем число, подлежащее возведению, затем кнопку со стрелкой вверх (на аппаратах фирмы HP - с надписью Enter), затем показатель степени, а затем клавишу . Если эта надпись расположена не на самой клавише, а над ней, то перед ней нажмите клавишу [F]. Отличить такой от научного с арифметической записью можно по отсутствию клавиши [=].

При использовании научного калькулятора с алгебраической записью вначале нажмите клавишу [C], затем число, подлежащее возведению в степень , затем клавишу (при необходимости - совместно с клавишей [F], как указано выше), затем показатель степени, а затем - клавишу [=].

Наконец, при использовании двухстрочного калькулятора с формульной записью введите в верхнюю строку все выражение в том же виде, в каком оно записано на бумаге. Для ввода знака возведения в степень используйте клавишу или [^], в зависимости от типа аппарата. После нажатия клавиши [=] результат отобразится в нижней строке.

При отсутствии калькулятора для возведения в степень можно использовать компьютер. Для этого запустите на нем программу виртуального калькулятора: в Windows - Calc, в Linux - XCalc, KCalc, Galculator и др. Переключите программу в инженерный режим, если этого не было сделано ранее. Калькулятор XCalc можно перевести в режим обратной польской записи, запустив его командой xcalc -rpn. Компиляторы языка Паскаль использовать в качестве калькуляторов не рекомендуется - команды возведения в степень там нет, и реализовывать соответствующий алгоритм приходится вручную. В интерпретаторах языка Бейсик, например, UBasic, для осуществления этой операции служит знак ^.

Процессоры современных компьютеров в состоянии выполнять сотни триллионов операций в секунду. Понятно, что такие простые задачки, как возведение числа в степень , для них пустяки. Они решаются мимоходом при выполнении серьезных задач, например, по созданию графики виртуальных миров. Но повелитель компьютера - пользователь, а раз ему хочется заниматься такими пустяками, супердракону приходится прикидываться котенком, изображая из себя программу-калькулятор.

Вам понадобится

• ОС Windows.

Инструкция

Введите исходное число. В этом интерфейсе за операциями возведения в квадрат и куб закреплены отдельные кнопки, поэтому для их выполнения вам достаточно кликнуть по кнопкам с символами x² или x³.

Если показатель степени больше тройки, после ввода -основания щелкните по кнопке с символом xʸ. Затем введите показатель степени и нажмите клавишу Enter либо кликните по кнопке со знаком равенства. Калькулятор произведет необходимые вычисления и отобразит результат.

Есть и еще один способ возведения числа в степень , который, скорее, можно назвать трюком. Чтобы им воспользоваться, введите исходное число и кликните по кнопке извлечения корня произвольной степени ʸ√x. Затем введите десятичную , которая является результатом деления единицы на показатель степени. Например, для возведения в пятую степень это должно быть число 1/5=0,2. Нажмите на кнопку Enter и получите результат возведения в степень .

Видео по теме

Степень числа разбирают в школе на уроках алгебры. В жизни такая операция выполняется редко. Например, при расчете площади квадрата или объёма куба используются степени, потому что длина, ширина, а для куба и высота – равные величины. В остальном возведение в степень чаще всего носит прикладной производственный характер.

Вам понадобится

• Бумага, ручка, инженерный калькулятор, таблицы степеней, программные продукты (например, табличный редактор Excel).

Инструкция

Пусть Х = 125, а степень числа , т. е. n = 3. Это означает, что число 125 нужно умножить само на себя 3 раза.
125^3 = 125*125*125 = 1 953 125
Ещё .
3^4 = 3*3*3*3 = 81

При работе с отрицательным числом нужно быть аккуратным со знаками. Следует помнить, что четная степень (n) даст знак плюс, нечетная – знак .
Например
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Нулевая степень (n = 0) от любого числа всегда будет равна единице.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1Если n = 1, число умножать само на себя не надо.
Будет
7^1 = 7
329^1 = 329

можно найти с помощью умножения. Например: 5+5+5+5+5+5=5х6. О таком выражении говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, получаем, что мы развернули сумму равных слагаемых. Аналогично можно сворачивать произведение нескольких равных множителей 5х5х5х5х5х5=5 6 .

То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».

Выражение 5 6 - это степенью числа, где:

5 - основание степени;

6 - показатель степени.

Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.

В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается так

Возвести число a в степень n - значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1

Если возвести число «а» возвести в первую степень , то получим само число a: a 1 = a

Если возвести любое число в нулевой степень , то в результате вычислений получим один. a 0 = 1

Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа , третью - кубом этого числа.

В степень можно возводить любое число - положительное, отрицательное или нуль. При этом не пользуются следующими правилами:

При нахождении степени положительного числа получается положительное число .

При вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.

х m · х n = х m + n

например: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем :

х m / х n = х m — n , где, m > n,

например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

(у m ) n = у m · n

например: (2 3) 2 = 2 3·2 = 2 6

(х · у) n = х n · у m ,

например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

(х / у) n = х n / у n

например: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3 .

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0 , 5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите - 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а - любое число, а z - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите 3 в степень - 2 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 - 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Возведите 1 , 43 в степень - 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) - 2 = 10000 20449

Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8 - 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

После этого извлечем корень 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и результат возведем в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 21 , 174367 ....

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.