Проекция (геометрическая, алгебраическая) вектора на ось. Свойства проекций
а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.
Предварительные сведения
Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.
Определение 3
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).
Определение 4
Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).
Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$
Определение 5
Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они направлены в разные стороны (рис. 4).
Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$
Определение 6
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Перейдем к определению равенства двух векторов
Определение 7
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
- Они сонаправлены;
- Их длины равны (рис. 5).
Геометрическая проекция
Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.
Определение 8
Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.
Рассмотрим задачу:
Пример 1
Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.
Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).
а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.
Предварительные сведения
Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.
Определение 3
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).
Определение 4
Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).
Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$
Определение 5
Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:
- Эти векторы коллинеарны.
- Если они направлены в разные стороны (рис. 4).
Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$
Определение 6
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Перейдем к определению равенства двух векторов
Определение 7
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
- Они сонаправлены;
- Их длины равны (рис. 5).
Геометрическая проекция
Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.
Определение 8
Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.
Рассмотрим задачу:
Пример 1
Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.
Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).
Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .
A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .
Определение 1
Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .
Пример 1
Пример проекции вектора на ось.
На координатной плоскости О х у задается точка M 1 (x 1 , y 1) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов (x 1 , 0) и (0 , y 1) .
Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → - нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.
Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.
Определение 2
Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.
Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → - n p b → a → .
Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ - угол между векторами a → и b → .
Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.
Пример 2
Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Ответ: 4.
При известном cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.
Определение 3
Числовой проекцией вектора a → на ось, совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.
Пример 3
Задан b → = (- 3 , 4) . Найти числовую проекцию a → = (1 , 7) на L .
Решение
На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = (a x , a y) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .
Ответ: 5.
Пример 4
Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = - 2 , 3 , 1 и b → = (3 , - 2 , 6) . Задано трехмерное пространство.
Решение
По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = (- 2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Ответ: - 6 7 .
Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:
Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , следует n p b → a → = a → · cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .
Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .
Определение 4
Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:
- длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ (a → , b →) ^ < 90 ° ;
- ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда (a → , b → ^) = 90 ° ;
- длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = - n p b → a → → с условием 90 ° < a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Пример 5
Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.
Решение
Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 < 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Ответ: - 2 .
Пример 6
Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .
Решение
Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = (- 2 , 1 , 2) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Ответ: (- 6 , 3 , 6) .
Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Векторное описание движения является полезным, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения. Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами – проекциями векторов.
Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между направлениями вектора и выбранной координатной оси.
На левом чертеже показан вектор перемещения, модуль которого 50 км, а его направление образует тупой угол 150° с направлением оси X. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось X:
sx = s · cos(α) = 50 км · cos( 150°) = –43 км
Поскольку угол между осями 90°, легко подсчитать, что направление перемещения образует с направлением оси Y острый угол 60°. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось Y:
sy = s · cos(β) = 50 км · cos( 60°) = +25 км
Как видите, если направление вектора образует с направлением оси острый угол, проекция положительна; если направление вектора образует с направлением оси тупой угол, проекция отрицательна.
На правом чертеже показан вектор скорости, модуль которого 5 м/с, а направление образует угол 30° с направлением оси X. Найдём проекции:
υx = υ · cos(α) = 5 м/c · cos( 30°) = +4,3 м/с
υy = υ · cos(β) = 5 м/с · cos( 120°) = –2,5 м/c
Гораздо проще находить проекции векторов на оси, если проецируемые векторы параллельны или перпендикулярны выбранным осям. Обратим внимание, что для случая параллельности возможны два варианта: вектор сонаправлен оси и вектор противонаправлен оси, а для случая перпендикулярности есть только один вариант.
Проекция вектора, перпендикулярного оси, всегда равна нулю (см. sy и ay на левом чертеже, а также sx и υx на правом чертеже). Действительно, для вектора, перпендикулярного оси, угол между ним и осью равен 90°, поэтому косинус равен нулю, значит, и проекция равна нулю.
Проекция вектора, сонаправленного с осью, положительна и равна его модулю, например, sx = +s (см. левый чертёж). Действительно, для вектора, сонаправленного с осью, угол между ним и осью равен нулю, и его косинус «+1», то есть проекция равна длине вектора: sx = x – xo = +s .
Проекция вектора, противонаправленного оси, отрицательна и равна его модулю, взятому со знаком «минус», например, sy = –s (см. правый чертёж). Действительно, для вектора, противонаправленного оси, угол между ним и осью равен 180°, и его косинус «–1», то есть проекция равна длине вектора, взятой с отрицательным знаком: sy = y – yo = –s .
На правых частях обоих чертежей показаны другие случаи, когда векторы параллельны одной из координатных осей и перпендикулярны другой. Предлагаем вам убедиться самостоятельно, что и в этих случаях тоже выполняются правила, сформулированные в предыдущих абзацах.
Ответ:
Свойства проекций:
Свойства проекции вектора
Свойство 1.
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось:
Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.
Свойство 2. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:
Свойство 3.
Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:
Орт оси. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора. Свойства координат
Ответ:
Орты осей.
Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.
В трёхмерном случае орты обычно обозначаются
И Могут также применяться обозначения со стрелками и
При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:
Разложение вектора по координатным ортам.
Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1)
Для любого вектора который лежит в плоскости имеет место следующее разложение:
Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:
Координаты вектора:
Чтобы вычислить координаты вектора, зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).
Свойства координат.
Рассмотрим координатную прямую с началом координат в точке О и единичным вектором i. Тогда для любого вектора a на этой прямой: a = axi.
Число ax называется координатой вектора a на координатной оси.
Свойство 1. При сложении векторов на оси их координаты складываются.
Свойство 2. При умножении вектора на число его координата умножается на это число.
Скалярное произведение векторов. Свойства.
Ответ:
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,
равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства:
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=bа
Скалярное произведение координатных ортов. Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.
Ответ:
Скалярное произведение (×) орты
(X) | I | J | K |
I | |||
J | |||
K |
Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.
Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле
Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.
Ответ:
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую., если нет то в противоположном (показать как он показывал с «ручками»)
Векторным произведением вектора а на векторb называется вектор с который:
1. Перпендикулярен векторам а иb
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на a и b векторах
3. Векторы, a ,b , и c образуют правую тройку векторов
Свойства:
1.
3.
4.
Векторное произведение координатных ортов. Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.
Ответ:
Векторное произведение координатных ортов.
Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.
Пусть векторы а = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой.
Разложим а и b по базисным векторам:
а = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.
Используя свойства векторного произведения, получаем
[а; b] = =
= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +
+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +
+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)
По определению векторного произведения находим
= 0, = k, = - j,
= - k, = 0, = i,
= j, = - i. = 0.
Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:
[а; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i
[а; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)
Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.
Полученная формула громоздка.Используя обозначения определителей можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:
Обычно формулу (З) записывают еще короче: