Площадь наружной поверхности цилиндра. Примеры того, как вычислить площадь цилиндра

Найдите площадь осевого сечения, перпендикулярного основаниям цилиндра. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, вторая - диаметру окружности основания. Соответственно, площадь сечения в этом случае будет равна произведению сторон прямоугольника. S=2R*h, где S - площадь сечения, R – радиус окружности основания, заданный условиями задачи, а h - высота цилиндра, также заданная условиями задачи.

Если сечение перпендикулярно основаниям, но при этом не проходит через ось вращения, прямоугольника не будет равняться диаметру окружности. Ее нужно вычислить. Для этого в задачи должно быть сказано, на каком расстоянии от оси вращения проходит плоскость сечения. Для удобства вычислений постройте окружность основания цилиндра, проведите радиус и отложите на нем расстояние, на котором от центра окружности находится сечение. От этой точки проведите к перпендикуляры до их пересечения с окружностью. Соедините точки пересечения с центром. Вам нужно найти хорды. Найдите размер половины хорды по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из разности квадратов радиуса окружности от центра до линии сечения. a2=R2-b2. Вся хорда будет, соответственно, равна 2а. Вычислите площадь сечения, которая равна произведению сторон прямоугольника, то есть S=2a*h.

Цилиндр можно рассечь , не проходящей через плоскости основания. Если поперечное сечение проходит перпендикулярно оси вращения, то оно будет представлять собой круг. Площадь его в этом случае равна площади оснований, то есть вычисляется по формуле S=πR2.

Полезный совет

Чтобы точнее представить себе сечение, сделайте чертеж и дополнительные построения к нему.

Источники:

• сечение цилиндра площадь

Линия пересечения поверхности с плоскостью принадлежит одновременно поверхности и секущей плоскости. Линия пересечения цилиндрической поверхности секущей плоскостью, параллельной прямой образующей – прямая линия. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси поверхности вращения – в сечении будет окружность. В общем случае линия пересечения цилиндрической поверхности с секущей плоскостью – кривая линия.

Вам понадобится

• Карандаш, линейка, треугольник, лекала, циркуль, измеритель.

Инструкция

На фронтальной плоскости проекций П₂ линия сечения совпадает с проекцией секущей плоскости Σ₂ в виде прямой.
Обозначьте точки пересечения образующих цилиндра с проекцией Σ₂ 1₂, 2₂ и т.д. до точек 10₂ и 11₂.

На плоскости П₁ – это окружность. Отмеченные на плоскости сечения Σ₂ точки 1₂ , 2₂ и т.д. с помощью линии проекционной связи спроектируются на очерке этой окружности. Обозначьте их горизонтальные проекции симметрично относительно горизонтальной оси окружности.

Таким образом, проекции искомого сечения определены: на плоскости П₂ – прямая (точки 1₂, 2₂…10₂); на плоскости П₁ – окружность (точки 1₁, 2₁…10₁).

По двум постройте натуральную величину сечения данного цилиндра фронтально-проектирующей плоскостью Σ. Для этого используйте способ проекций.

Проведите плоскость П₄ параллельно проекции плоскости Σ₂. На этой новой оси x₂₄ отметьте точку 1₀. Расстояния между точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ и т.д. с фронтальной проекции сечения отложите на оси x₂₄, проведите тонкие линии проекционной связи перпендикулярно оси x₂₄.

В данном способе плоскостью П₄ заменяется плоскость П₁, поэтому с горизонтальной проекции размеры от оси до точек перенесите на ось плоскости П₄.

Например, на П₁ для точек 2 и 3 это будет расстояние от 2₁ и 3₁ до оси(точка А) и т.д.

Отложив с горизонтальной проекции указанные расстояния, получите точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Затем для большей точности построения, определяются остальные, промежуточные, точки.

Соединив лекальной кривой все точки, получите искомую натуральную величину сечения цилиндра фронтально-проектирующей плоскостью.

Источники:

• как заменить плоскость

Совет 3: Как найти площадь осевого сечения усеченного конуса

Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он обладает. Обязательно сделайте чертеж. Это позволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение . Вполне возможно, что после этого решение задачи уже не будет представлять для вас сложности.

Инструкция

Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, называются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса . У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса , то его верхнее основание представляет собой круг.

Поскольку в условии задачи не оговорено, именно конус дается в данном случае, можно сделать вывод, что это прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая через ось круглого конуса , представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следовательно, чтобы найти площадь осевого сечения , требуется найти площадь трапеции, основаниями которой диаметры оснований усеченного конуса , а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является одновременно высотой трапеции.

Площадь трапеции определяется по формуле:S = ½(a+b) h, где S – площадь трапеции;a – величина нижнего основания трапеции;b – величина ее верхнего основания;h – высота трапеции.

Поскольку в условии не оговорено, какие именно даны, можно , что диаметры обеих оснований усеченного конуса известны: AD = d1 – диаметр нижнего основания усеченного конуса ;BC = d2 – диаметр его верхнего основания; EH = h1 – высота конуса .Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса определяется: S1 = ½ (d1+d2) h1

Источники:

• площадь усеченного конуса

Цилиндр является пространственной фигурой и состоит из двух равных оснований, которые представляют собой круги и боковой поверхности, соединяющей линии, ограничивающие основания. Чтобы вычислить площадь цилиндра , найдите площади всех его поверхностей и сложите их.

Представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью.

Цилиндр состоит из боковой поверхности и двух оснований. Формула площади поверхности цилиндра включает в себя отдельный расчет площади оснований и боковой поверхности. Так как основания в цилиндре равны, то полная его площадь будет рассчитываться по формуле:

Пример расчета площади цилиндра мы рассмотрим после того, как узнаем все необходимые формулы. Для начала нам понадобится формула площади основания цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, то нам потребуется применить :
Мы помним, что в этих расчетах используется постоянное число Π = 3,1415926, которое рассчитано как соотношение длины окружности к ее диаметру. Это число является математической константой. Пример расчета площади основания цилиндра мы также рассмотрим чуть позже.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:

А теперь рассмотрим задачу, в которой нам потребуется рассчитать полную площадь цилиндра. В заданной фигуре высота h = 4 см, r = 2 см. Найдем полную площадь цилиндра.
Для начала рассчитаем площадь оснований:
Теперь рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности цилиндра. В развернутом виде она представляет прямоугольник. Его площадь рассчитывается по приведенной выше формуле. Подставим в нее все данные:
Полная площадь круга представляет собой сумму двойной площади основания и боковой:

Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.

Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета :

Как вычислить площадь поверхности цилиндра - тема данной статьи. В любой математической задаче начать нужно с ввода данных, определить, что известно и чем оперировать в дальнейшем, и лишь затем приступить непосредственно к расчету.

Данное объёмное тело представляет собой геометрическую фигуру цилиндрической формы, ограниченную сверху и снизу двумя параллельными плоскостями. Если приложить немного воображения, то можно заметить, что геометрическое тело образуется вращением прямоугольника вокруг оси, причем осью является одна из его сторон.

Отсюда вытекает, что описываемая кривая сверху и снизу цилиндра будет окружностью, основным показателем которой является радиус или диаметр.

Площадь поверхности цилиндра — онлайн калькулятор

Данная функция окончательно облегчает процесс расчета, и все сводится лишь автоматическому подставлению заданных значений высоты и радиуса (диаметра) основания фигуры. Единственное, что требуется - точно определить данные и не ошибиться при вводе цифр.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Сначала нужно представить, как выглядит развертка в двухмерном пространстве.

Это не что иное, как прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности. Формула ее известна с незапамятных времен -2π * r , где r - радиус окружности. Другая сторона прямоугольника равна высоте h . Найти искомое не составит труда.

S бок = 2π * r * h ,

где число π = 3.14.

Площадь полной поверхности цилиндра

Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной S бок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле S о = 2π * r 2 .

Конечная формула выглядит следующим образом:

S пол = 2π * r 2 + 2π * r * h.

Площадь цилиндра — формула через диаметр

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

S пол = 2 π * r 2 + 2 π * r * h = 2 π * d 2 /4 + 2 π * h * d /2 = π * d 2 /2 + π * d * h ,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2 .

Примеры расчета площади цилиндра

Вооружившись знаниями, приступаем к практике.

Пример 1. Нужно вычислить площадь усеченного куска трубы, то есть цилиндра.

Имеем r = 24 mm, h = 100 mm. Использовать необходимо формулу через радиус:

S пол = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).

Переводим в привычные м 2 и получаем 0,01868928, приблизительно 0.02 м 2 .

Пример 2. Требуется узнать площадь внутренней поверхности печной асбестовой трубы, стенки которой облицованы огнеупорным кирпичом.

Данные следующие: диаметр 0,2 м; высота 2 м. Используем формулу через диаметр:

S пол = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м 2 .

Пример 3. Как узнать, сколько материла нужно для пошива мешка, r = 1 м и высотой 1 м.

Один момент, есть формула:

S бок = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м 2 .

Заключение

В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.

Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы - считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто - рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.