Найти корень из числа. Извлечение корней: способы, примеры, решения

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20 < √676 < 900.

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26 .

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 < √6889 < 90.
Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841 .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример . Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Корнем n -ой степени натурального числа a называется такое число, n -ая степень которого равна a . Корень обозначается так: . Символ √ называется знаком корня или знаком радикала , число a - подкоренное число , n - показатель корня .

Действие, посредством которого находится корень данной степени, называется извлечением корня .

Так как, согласно определению понятия о корне n -ой степени

то извлечение корня - действие, обратное возведению в степень , при помощи которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a .

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня - действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки правильности проведённого действия, можно найденный корень возвести во вторую степень и, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение квадратного корня и его проверку на примере. Вычислим или (показатель корня со значением 2 обычно не пишут, так как 2 - это самый маленький показатель и следует помнить, что если над знаком корня нет показателя, то подразумевается показатель 2), для этого нам нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получится 49. Очевидно, что таким числом является 7, так как

7 · 7 = 7 2 = 49.

Вычисление квадратного корня

Если данное число равно 100 или меньше, то квадратный корень из него можно вычислить с помощью таблицы умножения . Например квадратный корень из 25 - это 5, потому что 5 · 5 = 25.

Теперь рассмотрим способ нахождения квадратного корня из любого числа без использования калькулятора. Для примера возьмём число 4489 и начнём поэтапно вычислять.

1. Определим, из каких разрядов должен состоять искомый корень. Так как 10 2 = 10 · 10 = 100, а 100 2 = 100 · 100 = 10000, то становится ясно, что искомый корень должен быть больше 10 и меньше 100, т.е. состоять из десятков и единиц.
2. Находим число десятков корня. От перемножения десятков получаются сотни, в нашем числе их 44, поэтому корень должен содержать столько десятков, чтобы квадрат десятков давал приблизительно 44 сотни. Следовательно в корне должно быть 6 десятков, потому что 60 2 = 3600, а 70 2 = 4900 (это слишком много). Таким образом мы выяснили, что наш корень содержит 6 десятков и несколько единиц, так как он находится в в диапазоне от 60 до 70.
3. Определить число единиц в корне поможет таблица умножения. Посмотрев на число 4489, мы видим, что последняя цифра в нём 9. Теперь смотрим в таблицу умножения и видим что 9 единиц может получится только при возведении в квадрат чисел 3 и 7. Значит корень числа будет равен 63 или 67.
4. Проверяем полученные нами числа 63 и 67 возводя их в квадрат: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Соколов Лев Владимирович, учащийся 8 класса МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»

Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Районная научно-практическая конференция

обучающихся Тугулымского городского округа

Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора

Исполнитель: Лев Соколов,

МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»,

8 класс

Руководитель: Сидорова Татьяна

Николаевна

р.п. Тугулым, 2016 г.

Введение 3

Глава 1. Способ разложения на простые множители 4

Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком 4

Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 6

Глава 4. Формула Древнего Вавилона 6

Глава 6. Канадский метод 7

Глава 7. Метод подбора угадыванием 8

Глава 8 . Метод вычетов нечётного числа 8

Заключение 10

Список литературы 11

Приложение 12

Введение

Актуальность исследования, когда я изучал тему квадратные корни в этом учебном году, то меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора.

Я заинтересовался и решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в школьной программе, а также приготовить мини-книжечку с наиболее простыми способами извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.

Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.

Задачи:

1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.
3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить

Степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

1. Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
2. Сравнение найденных способов.
3. Анализ полученных способов.

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это очень сложная

задача. Когда нет под рукой калькулятора, то начинаем методом подбора стараться вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает. Например, таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, извлечь корень из 75, 37,885,108,18061 и другие даже приблизительно.

Также часто на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено и нет

таблицы квадратов целых чисел, а надо извлечь корень из 3136 или 7056 и т.д.

Но изучая литературу по данной теме, я узнал, что извлекать корни из таких чисел

возможно и без таблицы и калькулятора, люди научились задолго до изобретения микрокалькулятора. Исследуя эту тему, я нашел несколько способов решения данной проблемы.

Глава 1. Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Таким способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Многие применяют его успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 209764? Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙52441. А как быть дальше? С этой задачей сталкиваются все, и спокойно в ответе записывают остаток от разложения под знак корня. Методом проб и ошибок, подбором разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.

Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.

Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком

Для извлечения квадратного корня уголком и рассмотрим алгоритм:
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (9 2 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг . Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18

К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.

Пприведу еще пример: извлечь √212521

Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Про этот способ я узнал из Интернета. Способ очень простой и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

(Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного материала.)

Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но сначала несколько рекомендаций: самый левый столбик – это будут в ответе целые, самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Рассмотрим на примере. Найдём значение √87.

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 87 – таких только два 86 49 и 88 37. Но 88 – это уже много.

Значит, остаётся только одно – 8649.

Левый столбик даёт ответ 9 (это целых), а верхняя строчка 3 (это десятых). Значит √87≈ 9,3. Проверим на МК √87 ≈ 9,327379.

Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

Глава 4. Формула Древнего Вавилона

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

Глава 5. Способ отбрасывания полного квадрата

(только у четырехзначных чисел)

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

1. Извлечение корней до числа 75 2 = 5625

Например: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25 . Получим ответ 62.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа 75 2 =5625!

2) Извлечение корней после числа 75 2 = 5625

Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 75 2 =5625?

Например: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Поясним,7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.

Получим ответ 85.

Этот способ нахождения очень интересен и в какой – то мере оригинален, но в ходе моего исследования встретился только один раз в работе пермского преподавател.

Возможно, он мало изучен или имеет какие – то исключения.

Он достаточно сложен в запоминании из – за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но я проработал множество примеров и убедился в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.

Глава 6. Канадский метод

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), гдеX - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности. Метод несложный и удобный.

Глава 7. Метод подбора угадыванием

Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел путём сужения области поиска. Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли, потому что он требует многократного вычисления произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел. Этот способ проигрывает и в красоте решения, и по времени. Алгоритм прост:

Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75.

Так как 8 2 = 64 и 9 2 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними.

Попробуйте возвести 8,5 2 и вы получите 72,25 (слишком мало)

Теперь попробуйте 8,6 2 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе)

Теперь попробуйте 8,7 2 и вы получите 75,69 (слишком большая)

Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7

Попробуйте возвести 8,65 2 и вы получите 74,8225 (слишком мало)

Теперь попробуйте 8,66 2 ... и так далее.

Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.

Глава 8. Метод вычетов нечётного числа

Многие знают метод извлечения квадратного корня разложением числа на простые множители. В своей работе представлю ещё один способ, с помощью которого можно узнать целую часть квадратного корня числа. Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 и т.д.

Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.

Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Еще пример: найдём √529

Решение: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Ответ: √529 = 23

Ученые называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень - очень длинный в решёнии.

Заключение

Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от калькулятора.

В результате проведённого исследования я пришел к выводу: различные способы извлечения квадратного корня без калькулятора необходимы в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.

Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней.

Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами (Приложение1).

Литература и сайты Интернета:

1. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990
2. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980
3. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.

–М.:Просвещение,1987

1. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979
2. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
3. Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

Добрый день, уважаемые гости!

Меня зовут Лев Соколов, я учусь в 8 классе в вечерней школе.

Представляю вашему вниманию работу на тему: « Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора».

При изучении темы квадратные корни в этом учебном году, меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора и я решил изучить его глубже, так как на следующий год мне предстоит сдавать экзамен по математике.

Цель моей работы: найти и показать способы извлечения квадратных корней без калькулятора

Для достижения цели я решал следующие задачи:

1. Изучить литературу по данному вопросу.

2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.

3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

4.Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.

Объектом моего исследования стали квадратные корни.

Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.

2. Сравнение и анализ найденных способов.

Я нашел и изучил 8 способов извлечения квадратных корней без калькулятора и отработал их на практике. Название найденных способов приведены на слайде.

Я остановлюсь на тех из них, которые мне понравились.

Покажу на примере, как можно способом разложения на простые множители извлечь квадратный корень из числа 3025.

Основной недостаток этого способа - он занимает много времени.

С помощью формулы Древнего Вавилона я извлеку квадратный корень из этого же числа 3025.

Способ удобен только для малых чисел.

Из этого же числа 3025 извлекаем квадратный корень уголком.

На мой взгляд, это самый универсальный способ, он применим к любым числам.

В современной науке известно много способов извлечения квадратного корня без калькулятора, но я изучил не все.

Практическая значимость моей работы: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.

Результаты моей работы могут успешно применяться на уроках математики, физики и других предметах, где требуется извлечение корней без калькулятора.

Спасибо за внимание!

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора Исполнитель: Лев Соколов, МКОУ « Тугулымская В(С)ОШ»,8 класс Руководитель: Сидорова Татьяна Николаевна I категория, учитель математики р.п. Тугулым

Правильному применению методов можно научиться, применяя и на разнообразных примерах. Г. Цейтен Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора. Задачи: - Изучить литературу по данному вопросу. - Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм. - Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов. - Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.

Объект исследования: квадратные корни Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора. Методы исследования: Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора. Сравнение найденных способов. Анализ полученных способов.

Способы извлечения квадратного корня: 1. Способ разложения на простые множители 2. Извлечение квадратного корня уголком 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 4. Формула Древнего Вавилона 5. Способ отбрасывания полного квадрата 6. Канадский метод 7. Метод подбора угадыванием 8. Метод вычетов нечётного числа

Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 √209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56. √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Не всегда легко можно разложить, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.

Формула Древнего Вавилона (Вавилонский метод) Алгоритм извлечения квадратного корня древневавилонским способом. 1 . Представить число с в виде суммы а ² + b , где а ² ближайший к числу с точный квадрат натурального числа а (а ² ≈ с); 2. Приближенное значение корня вычисляется по формуле: Результат извлечения корня с помощью калькулятора равен 5,292.

Извлечение квадратного корня уголком Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.

Алгоритм извлечения квадратного корня уголком 1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64) 2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (- число 2). Так мы получаем первую цифру числа. 3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4). 4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1). 5.Сносим следующие две цифры (получили число 196). 6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4). 7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &. 8. Находим разность (196-176=20). 9. Сносим следующую группу (получаем число 2033). 10. Удваиваем число 24, получаем 48. 11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа. Далее процесс повторяется.

Метод вычетов нечётного числа (арифметический способ) Алгоритм извлечения квадратного корня: Вычитать нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитать количество выполненных действий – это число есть целаячасть числа извлекаемого квадратного корня. Пример 1: вычислить 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. Выполнено 3 действия

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11. 5963364 = ??? Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.

Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней. Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.

Спасибо за внимание!

Предварительный просмотр:

При решении некоторых задач потребуется извлечь квадратный корень из крупного числа. Как это сделать?

Метод вычетов нечётного числа.

Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 и т.д.

Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.

Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Канадский метод.

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Пример. Извлечь квадратный корень из 75.

X = 75, S = 81. Это означает, что √ S = 9.

Просчитаем по этой формуле √75: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Способ извлечения квадратного корня уголком.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа.

3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81.

Метод подбора.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √ 676 = 26.

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Вавилонский метод.

Шаг №1. Представить число х в виде суммы: х=а 2 + b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а.

Шаг №2. Использовать формулу:

Пример. Вычислить .

Арифметический метод.

Вычитаем из числа все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем, целую часть квадратного корня из числа.

Пример. Вычислить целую часть числа .

Решение. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - целая часть числа . Итак, .

Метод (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а 1 - первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа - точного квадрата, не превосходящего .

Указанный способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

Метод оценки.

Шаг №1. Выяснить диапазон, в котором лежит исходный корень (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).

Шаг №2 . По последней цифре определить на какую цифру заканчивается искомое число.

Шаг №3. Возвести в квадрат предполагаемые числа и определить из них искомое число.

Пример 1. Вычислить .

Решение. 2500 50 2 2 50

= *2 или = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Следовательно, = 58.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Вычисление (или извлечение) квадратного корня можно производить несколькими способами, но все они не сказать что уж очень просты. Проще, конечно, прибегнуть к помощи калькулятора. Но если такой возможности нет (или вы хотите понять суть квадратного корня), могу посоветовать пойти следующим путем, его алгоритм таков:

Если на такие длительные вычисления у вас нет сил, желания или терпения, можно прибегнуть к помощи грубого подбора, его плюс в том, что он невероятно быстрый и при должной смекалке точный. Пример:

Когда я учился в школе (в начале 60-х годов), нас учили извлекать квадратный корень из любого числа. Методика несложная, внешне похожа на деление столбиком, но излагать е здесь, это потребуется полчаса времени и 4-5 тысяч знаков текста. Но зачем это Вам? У вас есть телефон или иной гаджет, в нм есть калькулятор. Калькулятор есть и в любом компьютере. Лично я предпочитаю производить такого рода вычисления в Excel.

Зачастую в школе требуется находить квадратные корни разных чисел. Но если вот мы привыкли пользоваться постоянно для этого калькулятором, то на экзаменах такой возможности не будет, поэтому нужно учиться искать корень без помощи калькулятора. А сделать-то это в принципе возможно.

Алгоритм таков:

Смотрите сначала на последнюю цифру вашего числа:

Например,

Теперь требуется определить примерно значение для корня из самой левой группы

В случае когда число имеет больше двух групп, то находить корень надо так:

А вот следующая циферка должна быть именно наибольшей, подобрать е надо так:

Теперь надо образовать новое число А посредством добавления к остатку, который был получен выше, следующую группу.

В наших примерах:

Столбиком наджней, а когда нужно больше пятнадцати знаков, то компьютеры и телефоны с калькуляторами чаще всего отдыхают. Осталось проверить, займт ли описание методики 4-5 тыс. знаков.

Берм любое число, от запятой отсчитываем пары цифр вправо и влево

Например, 1234567890,098765432100

Пара цифр - это как бы двузначное число. Корень из двузначного - однозначное. Подбираем однозначное, квадрат которого меньше первой пары цифр. В нашем случае это 3.

Как при делении столбиком, под первой парой выписываем этот квадрат и из первой пары вычитаем. Результат сносим под подчерк. 12 - 9 = 3. Добавляем к этой разнице вторую пару цифр (будет 334). Слева от числа берм удвоенное значение той части результата, которую уже нашли о дополняем цифрой (у нас 2*6=6), такой, чтобы при умножении на не полученное число не превосходило число со второй парой цифр. Получаем, что найденная цифра - пятрка. Снова находим разность (9), сносим следующую пару цифр получая 956, снова выписываем удвоенную часть результата (70), снова е дополняем нужной цифрой и так далее до упора. Или до нужной точности вычислений.

Во-первых для того что бы вычислить квадратный корень надо хорошо знать таблицу умножения. Самые простые примеры - это 25 (5 на 5 = 25) и так далее. Если же брать числа посложнее, то можно использовать данную таблицу, где по горизонтали единицы, а по вертикале десятки.



Есть хороший способ как найти корень из числа без помощи калькуляторов. Для этого вам понадобится линейка и циркуль. Суть в том, что вы находите на линейке значение, которое у вас под корнем. Например, ставите отметку возле 9. Ваша задача - поделить это число на равное количество отрезков, то есть на два линии по 4,5 см, а на ровный отрезок. Несложно догадаться, что в итоге получится 3 отрезка по 3 сантиметра.

Способ нелегкий и для больших чисел не подойдет, но зато считается без калькулятора.

без помощи калькулятора способу извлечения корня квадратного учили в советские времена в школе в 8-м классе.

Для этого надо разбить многозначное число справа налево на грани по 2 цифры :

Первая цифра корня это целый корень из левой грани, в данном случае, 5.

Вычитаем 5 в квадрате из 31, 31-25=6 и к шестерке приписываем следующую грань, имеем 678.

Следующая цифра х подбирается к удвоенной пятерке так, чтобы

10х*х было максимально большим, но меньшим чем 678.

х=6, поскольку 106*6 = 636,

теперь вычисляем 678 - 636 = 42 и добавляем следующую грань 92, имеем 4292.

Снова ищем максимальный х, такой что 112х*х lt; 4292.

Ответ: корень равен 563

Так можно продолжать сколько требуется.

В некоторых случаях можно попытаться разложить подкоренное число на два или несколько квадратных множителей.

Также полезно запомнить таблицу (или хотя бы какую-то ее часть) - квадраты натуральных чисел от 10 до 99.



Предлагаю изобретенный мною вариант извлечения квадратного корня в столбик. Он отличается от общеизвестного, исключением подбора чисел. Но как выяснил позже, данный метод уже существовал за много лет до моего рождения. Описал его в своей книге Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе великий Исаак Ньютон. Так что здесь излагаю свое видение и обоснование алгоритма метода по Ньютону. Запоминать алгоритм не стоит. Можно просто при необходимости пользоваться схемой на рисунке в качестве наглядного пособия.







С помощью таблиц можно не вычислить, а найти, корни квадратные толь из чисел которые есть в таблицах. Проще всего вычислять корни не только квадратные, но и других степеней, методом последовательных приближений. Например вычислим корень квадратный из 10739, заменяем три последние цифры нулями и извлечем корень из 10000 получим 100 с недостатком, поэтому берем число 102 возводим его в квадрат, получаем 10404, что тоже меньше заданного, берем 103*103=10609 опять с недостатком, берем 103,5*103,5=10712,25, берем ещ больше 103,6*103,6=10732, берем 103,7*103,7=10753,69, что уже с избытком. Можно принять корень из 10739 примерно равны 103,6. Более точно 10739=103,629... . . Аналогично вычисляем корень кубический сначала из 10000 получаем примерно 25*25*25=15625, что с избытком, берем 22*22*22=10,648, берем чуть больше 22,06*22,06*22,06=10735, что очень близко к заданному.