Главная » Растяжения » Кто изобрел золотое сечение. Золотое сечение и гармония

Кто изобрел золотое сечение. Золотое сечение и гармония

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог “Тимей” посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора, в частности, вопросам золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в “Началах” Евклида. Во 2-й книге “Начал” дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам “Начал” Евклида переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.). Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне, они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась “О перспективе в живописи”. Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли “Божественная пропорция” с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее “божественную суть” как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. “Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать”. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений отводил золотому сечению. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя “Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности”.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы “вместе с водой выплеснули и ребенка”. Вновь “открыто” золотое сечение было в середине XIX века. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд “Эстетические исследования”. Цейзинг рассматривает золотое сечение без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях “математической эстетикой”.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название “Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве”. В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, с изложением этого труда Цейзинга.

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теорий о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Наука не поглотила искусство, но в те исторические периоды, когда математика и искусство сближались, это давало импульс к развитию того и другого.

Понятие золотого сечения

Выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи "Мона Лиза", подсолнухом, улиткой, снежинкой, галактикой и пальцами человека?

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a: b = c: d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части точкой С следующими способами:

на две равные части - АВ: АС = АВ: ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
в крайнем и среднем отношении таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.

Последнее и есть золотое деление.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью, если АВ принять за единицу, то AE = 0,618..., ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

Построение второго золотого сечения. Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44.

Линией второго золотого сечения прямоугольника находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Пентаграмма

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки в золотом отношении. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в золотой пропорции.

Ряд Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд “Книга об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.

Этот ряд известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция. В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой φ (фи).

Итак, Золотая пропорция равна 1: 1,618

Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом φ. Это отношение - 0,618: 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Золотой прямоугольник и золотая спираль

В геометрии прямоугольник с золотым отношением сторон стали называть золотым. Его длинные стороны соотносятся к короткими - в соотношении 1,168: 1.

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов. Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника и первого отрезаемого вертикального. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях. Разумеется, есть и золотой треугольник.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a: b = b: c или с: b = b: а.

Эта пропорция равна:

К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к к фиолетовому, равны 1.618

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования» .
Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон.

Золотые пропорции в частях тела человека

Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6.

У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.
Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры.

Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи .

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. (или 1.618 , если делить большее число на меньшее).

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.

Золотое сечение в искусстве

Еще в 1925 году искусствовед Л.Л.Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения.

Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения.

В кино С. Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения.

Золотое сечение в архитектуре, скульптуре, живописи

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса:

Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид.

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета построена на"золотых треугольниках".

Золотое сечение в шрифтах и бытовых предметах

Золотое сечение в живой природе

В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи.

Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Рассмотрим побег цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

a : b = c : d .

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

на две равные части – AB : AC = AB : BC ;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда AB : AC = AC : BC .

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a : b = b : c
или
c : b = b : a .

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. BC = 1/2 AB ; CD = BC

Из точки B восставляется перпендикуляр, равный половине AB . Полученная точка C соединяется линией с точкой A . На полученной линии откладывается отрезок BC , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую AB . Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x 2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.

Рис. 3.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок AB делится в пропорции золотого сечения. Из точки C восставляется перпендикуляр CD . Радиусом AB находится точка D , которая соединяется линией с точкой A . Прямой угол ACD делится пополам. Из точки C проводится линия до пересечения с линией AD . Точка E делит отрезок AD в отношении 56: 44.

Рис. 4.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой .

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и E – середина отрезка OA . Перпендикуляр к радиусу OA , восставленный в точке O , пересекается с окружностью в точке D . Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC . Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

Рис. 6. Построение золотого треугольника

Проводим прямую AB . От точки A откладываем на ней три раза отрезок O произвольной величины, через полученную точку P проводим перпендикуляр к линии AB , на перпендикуляре вправо и влево от точки P откладываем отрезки O . Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой A . Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1 , получая точку C . Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса , храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис. 8.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида . Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди учёных и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи , художник и учёный, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески , написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и её «божественную суть» как выражение Божественного Триединства – Бог Отец , Бог Сын и Бог Дух Святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение Бога Сына, больший отрезок – Бога Отца, а весь отрезок – Бога Духа Святого).

Электронные книги:

Марио Ливио.

Библиографическое описание: Максименко О. В., Пастор В. С., Ворфоломеева П. В., Мозикова К. А., Николаева М. Е., Шмелева О. В. К понятию о Золотом сечении // Юный ученый. 2016. №6.1. С. 35-39..02.2019).

«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них - теорема Пифагора,

другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении»

Иоганн Кеплер

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен.

Целью нашей работы является исследование источников информации, касающихся «Золотого сечения» в различных областях знаний, выявление закономерностей и нахождение связей между науками, выявление практического смысла Золотого сечения.

Актуальность данного исследования определяется многовековой историей использования золотого сечения в математике и искусстве. То, над чем ломали голову древние, остается актуальным и вызывающим интерес современников.

Во все времена люди пытались находить закономерности в окружающем их мире. Окружали себя предметами «правильной» с их точки зрения формы. Лишь с развитием математики людям удалось измерить «золотое соотношение», которое впоследствии получило название «Золотое сечение».

Золотое сечение - гармоническая пропорция

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (Рис.1).

a : b = b : c

Рис. 1. Деление отрезка по золотым пропорциям

Напомним Вам, что же такое золотое сечение. Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина - 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62 % на 38 %. Это соотношение действует в формах пространства и времени .

Золотой треугольник и прямоугольник

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник .

Золотой прямоугольник - это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения (Рис.3).

Рис.2. Золотой прямоугольник

Рис.3 Золотой треугольник

Пентакль

В правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении, т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618 (Рис.4).

Рис.4. Пентаграмма-гигиея

Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как он ее называл, гигиея представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение. Отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому и есть золотая пропорция.

Ряд Фибоначчи

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих , а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Так, 21: 34 = 0,617

34: 55 = 0,618.

История золотого сечения

Золотые пропорции в частях тела человека

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования».

Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон (Рис.5).

Рис.5 Золотые пропорции в частях тела человека

Золотое сечение в живой природе

Удивительно, как всего одно математическое понятие встречается во многих разделах человеческого знания. Оно как бы пронизывает все в мире, соединяя между собой гармонию и хаос, математику и искусство .

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38 (Рис.6).

Рис.6 Золотые пропорции в частях тела ящерицы

Золотое сечение в архитектуре

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (Рис.7). Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является пирамида Хеопса (Рис.8).

Пропорции Великой Пирамиды выдержаны в " Золотом соотношении»

Древние строители ухитрились возвести этот величественный монумент практически с идеальной инженерной точностью и симметричностью.

Рис.7. Парфенон

Рис.8. Пирамида Хеопса

Золотое сечение в скульптуре

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям (Рис.9).

Рис.9 Статуя Аполлона Бельведерского

Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину «Джоконда». Композиция портрета построена на золотых треугольниках (Рис.10).

Рис.10 Леонардо да Винчи «Джоконда»

Еще один пример золотого сечения в живописи – это полотно Рафаэля «Избиение младенцев» (Рис.11). На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль!

Рис.11. Рафаэль «Избиение младенцев»

Золотое сечение в литературных произведениях

Формы временно̀го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так, в повести «Пиковая дама» 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) - это и есть точка золотого сечения.

Золотое сечение в кинокартинах

Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей.

Заключение

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. «Золотое сечение» - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Литература:

Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. Математика - 6. - М.: Мнемозина, 2015
Корбалан Ф. Золотое сечение. Математический язык красоты. (Мир математики Т.1). - М.: ДеАгостини, 2014
Тимердинг Г. Е. Золотое сечение. - М.: Либроком, 2009

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен .

Аннотация: Золотое сечение – это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве - во всем, с чем может соприкоснуться человек. Авторы статьи исследуют литературу, находят связи между науками, касающиеся Золотого сечения, выявляют практический смысл золотых пропорций.

20.05.2017

Золотое сечение – это то, о чем должен знать каждый дизайнер. Мы объясним, что это такое, и как вы можете его использовать.

Существует общее математическое соотношение, найденное в природе, которое может быть использовано в дизайне для создания приятных, натурально-выглядящих композиций. Его называют Золотым Сечением или греческой буквой “фи”. Если вы иллюстратор, арт директор или графический дизайнер, вам определенно стоит использовать Золотое Сечение в каждом проекте.

В этой статье мы объясним, как его использовать, а также поделимся несколькими отличными инструментами для дальнейшего вдохновения и изучения.

Тесно связанная с Последовательностью Фибоначи (Fibonacci Sequence), которую вы, возможно, помните из уроков математики или романа Дэна Брауна “Код Да Винчи”, Золотое Сечение описывает идеально симметричное взаимоотношение между двумя пропорциями.

Приблизительно равное соотношению 1: 1.61, Золотое Сечение может быть иллюститровано как Золотой Прямоугольник: большой прямоугольник, включающий квадрат (в котором стороны равны длине самой короткой стороны прямоугольника) и прямоугольник поменьше.

Если убрать квадрат из прямоугольника, останется другой, маленький Золотой Прямоугольник. Этот процесс может продолжаться до бесконечности, как и цифры Фибоначи, которые работают в обратном порядке. (Добавление квадрата со сторонами, равными длине самой длинной стороны прямоугольника, приближает вас к Золотому Прямоугольнику и Золотому Сечению.)

Золотое Сечение в действии

Считается, что Золотое Сечение используется уже около 4000 лет в искусстве и дизайне. Однако, многие люди соглашаются, что при строительстве Египетских Пирамид также использовался этот принцип.

В более современные времена это правило может быть замечено в музыке, искусстве и дизайне вокруг нас. Применяя аналогичную рабочую методологию, вы можете привнести в свою работу те же особенности дизайна. Давайте взглянем на несколько вдохновляющих примеров.

Греческая архитектура

В древнегреческой архитектуре Золотое Сечение использовалось для определения приятных пространственных отношений между шириной здания и его высотой, размером портика и даже положением колонн, поддерживающих структуру.

В результате получается идеально пропорциональное строение. Движение неоклассической архитектуры также использовало эти принципы.

Тайная вечеря

Леонардо Да Винчи, как и многие другие художники прошлых лет, часто использовал Золотое Сечение для создания приятных композиций.

В Тайной вечере фигуры расположены в нижних двух третях (самая большая из двух частей Золотого Сечения), а Иисус идеально зарисован между золотых прямоугольников.

Золотое сечение в природе

Существует множество примеров Золотого Сечения в природе – их вы можете обнаружить вокруг себя. Цветы, морские раковины, ананасы и даже пчелиные соты демонстрируют одинаковое соотношение.

Как рассчитать Золотое Сечение

Рассчет Золотого Сечения достаточно прост, и начинается с простого квадрата:

01. Нарисуйте квадрат

Он образует длину короткой стороны прямоугольника.

02. Разделите квадрат

Разделите квадрат пополам с помощью вертикальной линии, образуя два прямоугольника.

03. Проведите диагональ

В одном из прямоугольников проведиде линию из одного угла в противоположный.

04. Поверните

Поверните эту линию так, чтобы она легла горизонтально по отношению к первому прямоугольнику.

05. Создайте новый прямоугольник

Создайте прямоугольник, используя новую горизонтальную линию и первый прямоугольник.

Как использовать Золотое Сечение

Использовать этот принцип проще, чем вы думаете. Существует пара быстрых трюков, которые вы можете использовать в своих макетах, или потратить немного больше времени и полностью раскрыть концепт.

Быстрый способ

Если вы когда-нибудь сталкивались с “Правилом третей”, то вам будет знакома идея разделения пространства на равные трети по вертикали и горизонтали, при этом места пересечения линий создают естественные точки для объектов.

Фотограф размещает ключевой объект на одной из этих пересекающихся линий, чтобы создать приятную композицию. Этот прицип может также использоваться в вашей разметке страниц и дизайне постеров.

Правило третей можно применять к любой форме, но если вы примените его к прямоугольнику с пропорциями примерно 1: 1.6, вы окажетесь очень близко к золотому прямоугольнику, что сделает композицию более приятной для глаз.

Полная реализация

Если вы хотите реализовать Золотое Сечение в вашем дизайне в полной мере, то просто расположите основной контент и сайдбар (в веб дизайне) в соотношении равном 1: 1.61.

Можно округлить значения в меньшую или большую стороны: если контент-зона равна 640px, а сайдбар 400px, то эта разметка вполне подойдет под Золотое Сечение.

Разумеется, вы также можете разделить области контента и боковой панели на одно и то же отношение, а связь между заголовком веб-страницы, областью содержимого, футером и навигацией также может быть спроектирована с использованием того же приципа.

Полезные инструменты

Вот несколько инструментов, которые помогут вам в использовании Золотого Сечения в дизайне и создании пропорциональных проектов.

GoldenRATIO – это приложение для создания дизайна веб сайтов, интерфейсов и шаблонов, подходящих под Золотое Сечение. Доступно в Mac App Store за 2,99$. Включает визуальный калькулятор Золотого Сечения.

Так же в приложении есть функция “Избранное”, которое сохраняет настройки для повторяющихся задач и “Click-thru” мод, позволяющий сворачивать приложение в Photoshop.

Этот калькулятор Золотого Сечения от Pearsonified помогает в создании идеальной типографики для вашего сайта. Введите размер шрифта, ширину контейнера в поле, и нажмите кнопку Set my type! Если вам нужно оптимизировать количество букв в строчке, вы можете дополнительно ввести значение CPL.

Это простое, полезное и бесплатное приложение доступно для Mac и PC. Введите любое число, и приложение вычислит вторую цифру в соответствии с приципом Золотого Сечения.

Это приложение позволяет проектировать с золотыми пропорциями, экономя кучу времени на вычислениях.

Вы можете менять формы и размеры, фокусируясь на работе над своим проектом. Постоянная лицензия стоит 49$, но вы можете скачать бесплатную версию на месяц.