Круговой конус. Конус (геометрическая фигура)

Определения:
Определение 1. Конус
Определение 2. Круговой конус
Определение 3. Высота конуса
Определение 4. Прямой конус
Определение 5. Прямой круговой конус
Теорема 1. Образующие конуса
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса

Объем и площади :
Теорема 2. Объем конуса
Теорема 3. Площадь боковой поверхности конуса

Усеченный конус :
Теорема 4. Сечение, параллельное основанию
Определение 6. Усеченный конус
Теорема 5. Объем усеченного конуса
Теорема 6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Определние
Тело ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между её вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием направляющей, образованным замкнутой кривой, называется конусом.

Основные понятия
Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.

Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную)(например, l ), лежащую в некоторой плокости, и произвольную точку (например, М), не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками данной линии l , образуют поверхность, называемую канонической . Точка М является вершиной такой поверхности, а заданная линия l - направляющей . Все прямые соединяющие точку М со всеми точками линии l , называют образующими . Каноническая поверхность не ограничивается ни её вершиной, ни направляющей. Она простирается неограниченно в обе стороны от вершины. Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия. Если направляющая - ломаная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется пирамидой .
Если же направляющая - кривая или смешанная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом или
Определение 1 . Конусом называют тело, состоящее из основания - плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией (кривой или смешанной), вершины - точки, не лежащей в плокости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.
Все прямые, проходящие через вершину конуса и любую из точек кривой, ограничивающей фигуру основания конуса, называются образующими конуса. Чаще всего в геометрических задачах под образующей прямой имеется ввиду отрезок этой прямой, заключенный между вершиной и плоскостью основания конуса.
Основание ограниченной смешанной линией - это очень редкий случай. Он сдесь указан только потому, что он может быть рассмотрен в геометрии. Чаще рассматривается случай с криволинейной направляющей. Хотя, что случай с произвольной кривой, что случай со смешанной направляющей, мало чем полезен и в них сложно вывести какие-любо закономерности. Из числа конусов в курсе элементарной геометрии изучается прямой круговой конус.

Известно, что окружность есть частный случай замкнутой кривой линии. Круг - плоская фигура, ограниченная окружностью. Принимая окружность за направляющую, можно определеить круговой конус.
Определение 2 . Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.
Определение 3 . Высота конуса - перпендикуляр, опущенный из вершины на плокость основания конуса. Можно выделить конус, высота которого падает в центр плоской фигуры основания.
Определение 4 . Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.
Если связать эти два определения, мы получим конус, основание котрого есть круг, а высота падает в центр этого круга.
Определение 5 . Прямым круговым конусом называют конус, основание котрого есть круг, а высота его соединяет вершину и центр основания данного конуса. Такой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и называется также конусом вращения. Если не оговорено противное, то для краткости в дальнейшем говорим просто конус.
Итак приведем некоторые свойства конуса:
Теорема 1 . Все образующие конуса равны. Доказательство. Высота МО перпендикулярна всем прямым основания по определению перпендикулярной прямой к плокости. Поэтому треугольники МОА, МОВ и МОС являются прямоугольными и равны по двум катетам (МО - общая, ОА=ОВ=ОС - радиусы основания. Поэтому равны и гипотенузы, т.е. образующие.
Радиус основания конуса иногда называют радиусом конуса . Высота конуса называется также осью конуса , поэтому любое сечение, проходящее через высоту называется осевым сечением . Любое осевое сечение пересекает основание по диаметру (т.к. прямая, по которой пересекаются осевое сечение и плокость основания, проходит через центр окружности) и образует равнобедренный треугольник.
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса есть равнобедренный треугольник. Так треугольник АМВ является равнобедренным, т.к. две его стороны МВ и МА есть образующие. Угол АМВ является углом при вершине осевого сечения.

Класс: 11 Урок №14 Дата проведения: ____________

Тема урока: «Прямой круговой конус, его элементы. Осевые сечения конуса. Сечения конуса плоскостью, параллельной основанию. Развертка конуса»

Цель урока:

Ввести понятия конической поверхности, конуса, элементов конуса (боковая поверхность, основание, вершина, образующая, ось, высота), понятие усеченного конуса;

Вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса;

Учить обучающихся решать задачи по этой теме.

Содействовать творческому восприятию учащимися учебного материала и их желание самосовершенствоваться.

Воспитывать организованность, дисциплинированность, ответственность за свой труд и труд одноклассников.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование урока: интерактивная доска, таблицы, модели конусов, материал для изготовления моделей: спицы, модель плоскости (пенопласт), бумага, клей, ножницы, циркуль, транспортир, линейка.

Форма организации деятельности учащихся : г рупповая.

Ход урока

1. Фронтальная работа

Из предложенных геометрических фигур выбрать конус

Знакомство с конической поверхностью

Определение №1 Коническая поверхность называется поверхность, образованная движением прямой, которая проходит через данную точку и пересекает данную плоскую линию.

Прямая а - образующая;

Плоская линия MN - направляющая.

Незамкнутая коническая поверхность

Если направляющая - замкнутая, то коническая поверхность – замкнутая.

Определение №2 Конусом называется тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и пересекающей её плоскостью.

Знакомство с конусом и его элементами

А ) Конус

SO a (SO= Н , SO=h)

SO - высота конуса

SA - образующая

S - вершина конуса

Кривая ABA - направляющая .

Б) Пусть прямоугольный прямоугольник SOA вращается вокруг катета SO; при полном обороте гипотенуза AS описывает коническую поверхность, катет OA описывает круг.

Такое тело называется конусом вращения . (прямой круговой конус).

Прямой круговой конус

S - вершина конуса

SA - образующая

SO=h - высота конуса

(ось конуса - а)

Основание конуса – круг (О; r)

О - центр основания,

AO=OB=r - радиус основания круга

D SAB - осевое сечение

a||b, b SO, a SO

Круг (о;r) ~ Круг (о1; r1)

Понятие боковой (полной) поверхности.

II. Работа в группах (3-5 человек)

(задания раздается каждой группе на карточке)

Задание по теме «Конус»

1) Изобразите конус. По рисунку определите все элементы конуса.

2) По заданной модели конуса постройте развертку этого конуса. Определите соответствие элементов развертки конуса, чертежа и модели конуса.

3) Из листа плотной бумаги изготовить конус, чтобы его полная поверхность: S 110 см2 при радиусе основания r 3.1 см.

Определите какие инструменты вам для этого понадобятся, какие расчеты необходимы сделать, какие формулы придется вспомнить, а какие вывести новые?

4) Оформите работу на месте по плану:

А) Какие у вас распределились обязанности в группе в процессе выполнения заданий:

генератор идей;

конструктор;

расчетчик;

оформитель;

изготовитель.

Б) Опишите способы и подходы к решению задачи.

Необходимые расчеты для изготовления модели конуса. (Чертеж. Формулы. Вывод)

Изготовление конуса.

5) Модель конуса готова.

6) Составьте формулу для расчета площади сечения, параллельного основанию конуса и делящего высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины

7) Составьте формулу для расчета площади сечения, проходящего через ось конуса. Чему равен угол при вершине данного сечения?

8) Каким образом можно из вашей модели получить усеченный конус? Рассчитать его полную поверхность используя задания (6).

9) Составьте и решите еще три задачи на данную тему.

Замечание: учитель выступает в роли консультанта при решении задач, пользуясь вопросами- подсказками и опираясь на ключевые слова.

Одной из групп были даны более легкие задания:

№1. Заполнить пропуски:

Прямая, которая при движении образует коническую поверхность, называется…;

Линия, которую пересекает образующая, называется…..;

Конус вращения - частный случай…, когда основание конуса - .., а основание высоты - ..;

Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной основанию, - …. Найдите площадь сечения.

Если осевое сечение конуса- равносторонний треугольник, то конус…..Сделать чертеж:

№2. Решите задачу, заполняя пропуски.

В развертке боковой поверхности конуса центральный угол равен 200 o . Найти угол между образующей и основанием конуса.

Дано: ВSB=200 o , SA=L, ОВ=r

Найти SAO

Решение:

1) a =360 o …..| cos x=…

2) 200 o =…

3) cos x =… , x -

А) … образующей;

Б) … направляющей;

В) …конус, …. Круг…, центр основания

Г) …круг, …расстояния сечения от вершины конуса;

Д) … называется равносторонним

А)

Б) 200 o = 360 o *cos x;

Задание на дом.

Изучить усеченный конус, решить задачи №

Итог урока.

В результате работы ученики

Сами вывели формулы для вычисления боковой и полной поверхностей конуса

Нарисовали развертку

Сделали необходимые расчеты

Группы

L(см)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

Провели исследовательскую работу,

Решили задачи,

Постоянно общались между собой, учились мыслить и мотивировать своих товарищей по работе.

Получили не только необходимые знания, но и большое удовольствие.

Выяснили, что слово «Конус» произошло от греческого слова «xwnos», что означает шишка.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• Образовательная : ввести понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса; формировать умения решать задачи на нахождение элементов конуса.
• Развивающая : развивать грамотную математическую речь, логическое мышление.
• Воспитательная : воспитывать познавательную активность, культуру общения, культуры диалога.

Форма урока: урок формирования новых знаний и умений.

Форма учебной деятельности: коллективная форма работы.

Методы, используемые на уроке: объяснительно-иллюстративный, продуктивный.

Дидактический материал: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка, доска, мел и цветные мелки, проектор и презентация «Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса».

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).
2. Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).
3. Изучение нового материала (15 мин).
4. Решение задач на нахождение элементов конуса (15 мин).
5. Подведение итогов урока (2 мин).
6. Задание на дом (2 мин).

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Цель: подготовить к усвоению нового материала.

2. Подготовительный этап

Форма: устная работа.

Цель: знакомство с новым телом вращения.

Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”.

Встречаются тела в форме конуса. Их можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой, так же в детских игрушках (пирамидка, хлопушка и др.), в природе (ель, горы, вулканы, смерчи).

(Используются Слайды 1-7)

Деятельность учителя	Деятельность ученика
3. Объяснение нового материала Цель: ввести новые понятия и свойства конуса.
1. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. (Слайд 8) Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P (учитель поэтапно строит конус). Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью , а сами отрезки – образующими конической поверхности .	В тетрадях строят конус.
(диктует определение) (Слайд 9) Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом .	Записывают определение.
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса , а круг – основанием конуса . Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса . Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса . Точка P называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса .	На чертеже подписывают элементы конуса.
Назовите две образующие конуса и сравните их?	PA и PB, они равны.
Почему образующие равны?	Проекции наклонных равны как радиусы окружности, значит и сами образующие равны.
Запишите в тетради: свойства конуса:	(Слайд 10)
1. Все образующие конуса равны. Назовите углы наклона образующих к основанию? Сравните их. Почему, докажите это?	Углы: PСО, PDO. Они равны. Так как треугольник PAB – равнобедренный.
2. Углы наклона образующих к основанию равны. Назовите углы между осью и образующими? Что можно сказать об этих углах?	СРО и DPO Они равны.
3. Углы между осью и образующими равны. Назовите углы между осью и основанием? Чему равны эти углы?	POC и POD. 90 о
4. Углы между осью и основанием прямые. Мы будем рассматривать только прямой конус.
2. Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Что представляет собой секущая плоскость, проходящая через ось конуса?	Треугольник.
Какой это треугольник?	Он равнобедренный.
Почему?	Две его стороны являются образующими, а они равны.
Что представляет собой основание данного треугольника?	Диаметр основания конуса.
Такое сечение называется осевым. (Слайд 11) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Что представляет собой секущая плоскость, перпендикулярная оси OP конуса?	Круг.
Где расположен центр этого круга?	На оси конуса.
Это сечение называется круговым сечением.(Сдайл 12) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Существуют и другие виды сечений конуса, которые не являются осевыми и не параллельны основанию конуса. Рассмотрим их на примерах. (Слайд 13)	Чертят в тетрадях.
3. Теперь выведем формулу полной поверхности конуса. (Слайд 14) Для этого боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.
Что является разверткой боковой поверхности конуса? (чертит на доске)	Круговой сектор.
Что является радиусом этого сектора?	Образующая конуса.
А длина дуги сектора?	Длина окружности.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. (Слайд 15)	, где – градусная мера дуги.
Чему равна площадь кругового сектора?
Значит, чему равна площадь боковой поверхности конуса? Выразим через и . (Слайд 16) Чему равна длина дуги?
С другой стороны эта же дуга представляет собой длину окружности основания конуса. Чему она равна?
Подставляя в формулу боковой поверхности конуса получим, . Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. . Запишите эти формулы.	Записывают: , .

Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.

Дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Дает - эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Построим эллиптическое ω плоскостью α , занимающей общее положение.

Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка.
На следе плоскости α V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след αV 1 . Линия сечения конуса ω - точки A" 1 , E" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V 1 ее след γ 3V 1 . Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω . Фронтальные проекции искомых точек C" и K" построим как точки принадлежащие секущей плоскости α .

Для нахождения точки E(E`, E") линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 2 H , которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пересечение 1"-2" с линией связи дает точку E" - наивысшую точку линии сечения.

Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 5 H и находим горизонтальную проекцию F` искомой точки. Также, плоскость γ 5 H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f") . Пересечение f" с линией связи дает точку F" . Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G - одну из характерных точек линии пересечения.
Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.

Дает - параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.

При построении проекций кривых - конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD) .

В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A") . Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S` . По известному =R S` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R .

Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:

С помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ 1 H и γ 2 H .

Сначала определятся фронтальные проекции точек F", G" - на пересечении образующих S"1", S"2" и следа секущей плоскости α V . На пересечении линий связи с γ 1 H и γ 2 H определяться F`, G` .

Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D", E" и D`, E` .

С помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ 3 V и γ 4 V .

Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H , будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.

Дает - гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.