Конспект урока "угол между прямой и плоскостью"

Угол а между прямой l и плоскостью 6 может быть определен через дополнительный угол р между заданной прямой l и перпендикуляром п к данной плоскости, проведенной из любой точки прямой (рис. 144). Угол Р дополняет искомый угол а до 90°. Определив истинную величину угла Р путем вращения вокруг прямой уровня плоскости угла, образованного прямой l и перпендикуляром и, остается дополнить его до прямого угла. Этот дополнительный угол и даст истинную величину угла а между прямой l и плоскостью 0.

27. Определение угла между двумя плоскостями.

Истинная величина двугранного угла - между двумя плоскостями Q и л. - может быть определена или путем замены плоскости проекций с целью преобразования ребра двугранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2), или если ребро не задано, как угол между двумя перпендикулярами n1 и n2, проведенными к данным плоскостям из произвольной точки М пространства В плоскости этих перпендикуляров при точке М получаем два плоских угла а и Р, которые соответственно равны линейным углам двух смежных углов (двугранных), образованных плоскостями q и л,. Определив истинную величину углов между перпендикулярными n1 и n2 путем вращения вокруг прямой уровня, тем самым определим и линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями q и л.

Кривые линии. Особые точки кривых линий.

На комплексном чертеже кривой ее особые точки, к которым относятся точки перегиба, возврата, излома, узловые точки, являются особыми точками и на ее проекции. Это объясняется тем, что особые точки кривых связаны с касательными в этих точках.

Если плоскость кривой занимает проецирующее положение (рис. а), то одна проекция этой кривой имеет форму прямой.

У пространственной кривой все ее проекции - кривые линии (рис. б).

Чтобы установить по чертежу, какая задана кривая (плоская или пространственная), необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости. Заданная на рис. б кривая является пространственной, так как точка D кривой не принадлежит плоскости, определяемой тремя другими точками А, В и Е этой кривой.

Окружность - плоская кривая второго порядка, ортогональная проекция которой может быть окружностью и эллипсом

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) - пространственная кривая, представляющая собой траекторию точки, выполняющей винтовое движение.

29.Плоские и пространственные кривые линии.

См. вопрос 28

30. Комплексный чертеж поверхности. Основные положения .

Поверхностью называют множество последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющий собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие т можно поменять местами, но при этом по верхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами.

В зависимости от формы образующей все поверхности можно разделить на линейчатые, у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые, у которых образующая кривая линия.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности - неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86). При проецировании поверхности Q на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются к этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l , которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П 1 - горизонтальный очерк, на П 2 - фронтальный очерк, на П 3 - профильный очерк поверхности. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На понятии проекции наклонной основано определение угла между прямой и плоскостью. Определение. Углом между прямой линией и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

На рис. 341 изображен угол а между наклонной AM и ее проекцией на плоскость К.

Примечание. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол ее с плоскостью считается равным нулю. Если она перпендикулярна к плоскости, то угол объявляется прямым (предыдущее определение здесь в буквальном смысле неприменимо!). В остальных случаях подразумевается острый угол между прямой и ее проекцией. Поэтому угол между прямой и плоскостью никогда не превышает прямого. Еще заметим, что здесь вернее говорить о мере угла, а не об угле (действительно, речь идет о мере наклона прямой к плоскости, понятие же угла как плоской фигуры, ограниченной двумя лучами, не имеет сюда прямого отношения).

Убедимся еще в одном свойстве острого угла между прямой линией и плоскостью.

Из всех углов, образованных данной прямой и всевозможными прямыми в плоскости, угол с проекцией данной прямой наименьший.

Доказательство. Обратимся к рис. 342. Пусть а - данная прямая, - ее проекция на плоскость - произвольная другая прямая в плоскости К (мы провели ее для удобства через точку А пересечения прямой а с плоскостью ). Отложим на прямой отрезок т. е. равный основанию наклонной МА, где проекция одной из точек наклонной а.

Тогда в треугольниках две стороны равны: сторона AM общая, равны по построению. Но третья сторона в треугольнике больше третьей стороны в треугольнике (наклонная больше перпендикуляра). Значит, и противолежащий угол в больше соответствующего угла а в (см. п. 217): , что и требовалось доказать.

Угол между прямой и плоскостью - это наименьший из углов между данной прямой и всевозможными прямыми в плоскости.

Справедлива и такая

Теорема. Острый угол между прямой, лежащей в плоскости, и проекцией наклонной на эту плоскость меньше угла между этой прямой и самой наклонной.

Доказательство. Пусть - прямая, лежащая в плоскости (рис. 342), а - наклонная к плоскости, т - ее проекция на плоскость. Будем рассматривать прямую как наклонную к плоскости тогда будет ее проекцией на указанную плоскость и по предыдущему свойству найдем: что и требовалось доказать. По теореме о трех перпендикулярах видно, что в случае, когда прямая в плоскости перпендикулярна к, проекции наклонной (случай не острого, а прямого угла), прямая также перпендикулярна и к самой наклонной; в этом случае оба угла, о которых мы говорим, прямые и потому равны между собой.

Пусть задана некоторая прямоугольная система координат и прямая. Пустьи две различные плоскости, пересекающиеся по прямой и задаваемые соответственно уравнениямии. Эти два уравнения совместно определяют прямуюв том и только в том случае, когда они не параллельны и не совпадают друг с другом, т. е. нормальные векторы
и
этих плоскостей не коллинеарны.

Определение. Есликоэффициенты уравнений

не пропорциональны, то эти уравнения называются общими уравнениями прямой, определяемой как линия пересечения плоскостей.

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Выведем уравнение прямой , проходящей через данную точку
пространства и имеющей заданный направляющий вектор
.

Пусть точка
 произвольная точка прямой . Эта точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор
, имеющий координаты
, коллинеарен направляющему вектору
прямой. Согласно (2.28) условие коллинеарности векторов
иимеет вид

. (3.18)

Уравнения (3.18) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через точку
и имеющей направляющий вектор
.

Если прямая задана общими уравнениями (3.17), то направляющий векторэтой прямой ортогонален нормальным векторам
и
плоскостей, задаваемых уравнениямии. Вектор
по свойству векторного произведения ортогонален каждому из векторови. Согласно определению в качестве направляющего векторапрямойможно взять вектор
, т. е.
.

Для нахождения точки
рассмотрим систему уравнений
. Так как плоскости, определяемые уравнениямии, не параллельны и не совпадают, то не выполняется хотя бы одно из равенств
. Это приводит к тому, что хотя бы один из определителей,
,
отличен от нуля. Для определенности будем считать, что
. Тогда, взяв произвольное значение, получим систему уравнений относительно неизвестныхи:

.

По теореме Крамера эта система имеет единственное решение, определяемое формулами

,
. (3.19)

Если взять
, то прямая, задаваемая уравнениями (3.17), проходит через точку
.

Таким образом, для случая, когда
, канонические уравнения прямой (3.17) имеют вид

.

Аналогично записываются канонические уравнения прямой (3.17) для случая, когда отличен от нуля определитель
или
.

Если прямая проходит через две различные точки
и
, то ее канонические уравнения имеют вид

. (3.20)

Это следует из того, что прямая проходит через точку
и имеет направляющий вектор.

Рассмотрим канонические уравнения (3.18) прямой. Примем каждое из отношений за параметр , т. е.
. Один из знаменателей этих дробей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать любые значения, поэтому параметрможет принимать любые вещественные значения. Учитывая, что каждое из отношений равно, получимпараметрические уравнения прямой:

,
,
. (3.21)

Пусть плоскость задана общим уравнением, а прямая параметрическими уравнениями
,
,
. Точка
пересечения прямойи плоскостидолжна одновременно принадлежать плоскости и прямой. Это возможно только в том случае, когда параметрудовлетворяет уравнению, т. е.
. Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты

,

,

.

П р и м е р 32. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки
и
.

Решение. За направляющий вектор прямой возьмем вектор

. Прямая проходит через точку, поэтому по формуле (3.21) искомые уравнения прямой имеют вид
,
,
.

П р и м е р 33. Вершины треугольника
имеют координаты
,
и
соответственно. Составить параметрические уравнения медианы, проведенной из вершины.

Решение. Пусть
 середина стороны
, тогда
,
,
. В качестве направляющего вектора медианы возьмем вектор
. Тогда параметрические уравнения медианы имеют вид
,
,
.

П р и м е р 34. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
.

Решение. Прямая задана как линия пересечения плоскостей с нормальными векторами
и
. В качестве направляющего вектораэтой прямой возьмем вектор
, т. е.
. Согласно (3.18) искомое уравнение имеет вид
или
.

3.8. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью

Пусть две прямые ив пространстве заданы своими каноническими уравнениями
и
. Тогда один из угловмежду этими прямыми равен углу между их направляющими векторами
и
. Воспользовавшись формулой (2.22), для определения углаполучим формулу

. (3.22)

Второй угол между этими прямыми равен
и
.

Условие параллельности прямых иравносильно условию коллинеарности векторов
и
и заключается в пропорциональности их координат, т. е. условие параллельности прямых имеет вид

. (3.23)

Если прямые иперпендикулярны, то их направляющие векторы ортогональны, т.е. условие перпендикулярности определяется равенством

. (3.24)

Рассмотрим плоскость , заданную общим уравнением, и прямую, заданную каноническими уравнениями
.

Угол между прямойи плоскостьюявляется дополнительным к углумежду направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости, т. е.
и
, или

. (3.24)

Условие параллельности прямой и плоскостиэквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости, т. е. скалярное произведение этих векторов должно равняться нулю:

Если же прямая перпендикулярна плоскости, то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости должны быть коллинеарны. В этом случае координаты векторов пропорциональны, т. е.

. (3.26)

П р и м е р 35. Найти тупой угол между прямыми
,
,
и
,
,
.

Решение. Направляющие векторы этих прямых имеют координаты
и
. Поэтому один уголмежду прямыми определяется соотношением, т. е.
. Поэтому условию задачи удовлетворяет второй угол между прямыми, равный
.

3.9. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Пусть
 точка пространства с координатами
, прямая, заданная каноническими уравнениями
. Найдем расстояниеот точки
до прямой.