Какой конус называют прямым. Урок «Прямой круговой конус, его элементы. Осевые сечения конуса."

Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус (круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок = πRl,

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S кон = πRl + πR 2 ,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR 2 H,

где R – радиус основания, Н – высота конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок = π(R + r)l,

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• Образовательная : ввести понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса; формировать умения решать задачи на нахождение элементов конуса.
• Развивающая : развивать грамотную математическую речь, логическое мышление.
• Воспитательная : воспитывать познавательную активность, культуру общения, культуры диалога.

Форма урока: урок формирования новых знаний и умений.

Форма учебной деятельности: коллективная форма работы.

Методы, используемые на уроке: объяснительно-иллюстративный, продуктивный.

Дидактический материал: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка, доска, мел и цветные мелки, проектор и презентация «Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса».

План урока:

1. Организационный момент (1 мин).
2. Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).
3. Изучение нового материала (15 мин).
4. Решение задач на нахождение элементов конуса (15 мин).
5. Подведение итогов урока (2 мин).
6. Задание на дом (2 мин).

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Цель: подготовить к усвоению нового материала.

2. Подготовительный этап

Форма: устная работа.

Цель: знакомство с новым телом вращения.

Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”.

Встречаются тела в форме конуса. Их можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой, так же в детских игрушках (пирамидка, хлопушка и др.), в природе (ель, горы, вулканы, смерчи).

(Используются Слайды 1-7)

Деятельность учителя	Деятельность ученика
3. Объяснение нового материала Цель: ввести новые понятия и свойства конуса.
1. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. (Слайд 8) Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P (учитель поэтапно строит конус). Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью , а сами отрезки – образующими конической поверхности .	В тетрадях строят конус.
(диктует определение) (Слайд 9) Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом .	Записывают определение.
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса , а круг – основанием конуса . Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса . Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса . Точка P называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса .	На чертеже подписывают элементы конуса.
Назовите две образующие конуса и сравните их?	PA и PB, они равны.
Почему образующие равны?	Проекции наклонных равны как радиусы окружности, значит и сами образующие равны.
Запишите в тетради: свойства конуса:	(Слайд 10)
1. Все образующие конуса равны. Назовите углы наклона образующих к основанию? Сравните их. Почему, докажите это?	Углы: PСО, PDO. Они равны. Так как треугольник PAB – равнобедренный.
2. Углы наклона образующих к основанию равны. Назовите углы между осью и образующими? Что можно сказать об этих углах?	СРО и DPO Они равны.
3. Углы между осью и образующими равны. Назовите углы между осью и основанием? Чему равны эти углы?	POC и POD. 90 о
4. Углы между осью и основанием прямые. Мы будем рассматривать только прямой конус.
2. Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Что представляет собой секущая плоскость, проходящая через ось конуса?	Треугольник.
Какой это треугольник?	Он равнобедренный.
Почему?	Две его стороны являются образующими, а они равны.
Что представляет собой основание данного треугольника?	Диаметр основания конуса.
Такое сечение называется осевым. (Слайд 11) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Что представляет собой секущая плоскость, перпендикулярная оси OP конуса?	Круг.
Где расположен центр этого круга?	На оси конуса.
Это сечение называется круговым сечением.(Сдайл 12) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Существуют и другие виды сечений конуса, которые не являются осевыми и не параллельны основанию конуса. Рассмотрим их на примерах. (Слайд 13)	Чертят в тетрадях.
3. Теперь выведем формулу полной поверхности конуса. (Слайд 14) Для этого боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.
Что является разверткой боковой поверхности конуса? (чертит на доске)	Круговой сектор.
Что является радиусом этого сектора?	Образующая конуса.
А длина дуги сектора?	Длина окружности.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. (Слайд 15)	, где – градусная мера дуги.
Чему равна площадь кругового сектора?
Значит, чему равна площадь боковой поверхности конуса? Выразим через и . (Слайд 16) Чему равна длина дуги?
С другой стороны эта же дуга представляет собой длину окружности основания конуса. Чему она равна?
Подставляя в формулу боковой поверхности конуса получим, . Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. . Запишите эти формулы.	Записывают: , .

Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

Рассмотрим какую-либо линию l (кривую или ломаную), лежащую в некоторой плоскости (рис. 386, а, б), и произвольную точку М, не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками линии образуют поверхность а; такая поверхность называется конической поверхностью, точка вершиной, линия - направляющей, прямые образующими. На рис. 386 мы не ограничиваем поверхность а ее вершиной, но представляем себе ее простирающейся неограниченно в обе стороны от вершины.

Если коническую поверхность рассечь какой-либо плоскостью, параллельной плоскости направляющей , то в сечении получим линию (кривую или ломаную, в зависимости от того, была ли кривой или ломаной линия ), гомотетичную линии l, с центром гомотетии в вершине конической поверхности. Действительно, отношение любых соответствующих отрезков образующих будет постоянным:

Итак, сечения коническои поверхности плоскостями, параллельными плоскости направляющей, подобны и подобно расположены, с центром подобия в вершине конической поверхности; это же верно для любых параллельных плоскостей, не проходящих через вершину поверхности.

Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия (кривая на рис. 387, а, ломаная на рис. 387, б). Тело, ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между ее вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом (если -кривая линия) или пирамидой (если -ломаная).

Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании. Говорят о треугольной, четырехугольной и вообще -угольной пирамидах. Заметим, что -угольная пирамида имеет грань: боковых граней и основание. При вершине пирамиды мы имеем -гранный угол с плоскими и двугранными углами.

Они соответственно называются плоскими углами при вершине и двугранными углами при боковых ребрах. При вершинах основания мы имеем трехгранных углов; их плоские углы, образованные боковыми, ребрами и сторонами основания, называются плоскими углами при основании, двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания - двугранными углами при основании.

Треугольная пирамида иначе называется тетраэдром (т. е. четырехгранником). Любая из ее граней может быть принята за основание.

Пирамида называется правильной при выполнении двух условий: 1) в основании пирамиды лежит правильный многоугольник,

2) высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, пересекает его в центре этого многоугольника (иначе говоря, вершина пирамиды проектируется в центр основания).

Заметим, что правильная пирамида не является, вообще говоря, правильным многогранником!

Отметим некоторые свойства правильной -угольной пирамиды. Проведем через вершину такой пирамиды высоту SO (рис. 388).

Повернем всю пирамиду как целое вокруг этой высоты на угол При таком повороте многоугольник основания перейдет сам в себя: каждая из его вершин займет положение соседней. Вершина пирамиды и ее высота (ось вращения!) останутся на месте, и поэтому пирамида как целое совместится сама с собой: каждое боковое ребро перейдет в соседнее, каждая боковая грань совместится с соседней, каждый двугранный угол при боковом ребре также совместится с соседним.

Отсюда вывод: все боковые ребра равны между собой, все боковые грани суть равные равнобедренные треугольники, все двугранные углы при основании равны, все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.

Из числа конусов в курсе элементарной геометрии мы изучаем прямой круговой конус, т. е. такой конус, основание которого круг, а вершина проектируется в центр этого круга.

Прямой круговой конус показан на рис. 389. Если проведем через вершину конуса высоту SO и повернем конус вокруг этой высоты на произвольный угол, то окружность основания будет скользить сама по себе; высота и вершина останутся на месте, поэтому при повороте на любой угол конус совместится сам с собой. Отсюда видно, в частности, что все образующие конуса равны между собой и одинаково наклонены к плоскости основания. Сечения конуса плоскостями, проходящими через его высоту, будут равнобедренными треугольниками, равными между собой. Весь конус получается от вращения прямоугольного треугольника SOA вокруг его катета (который становится высотой конуса). Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и также называется конусом вращения. Если не оговорено противное, мы для краткости в дальнейшем говорим просто «конус», понимая под этим конус вращения.

Сечения конуса плоскостями, параллельными плоскости его основания, суть круги (хотя бы потому, что они гомотетичны кругу основания).

Задача. Двугранные углы при основании правильной треугольной пирамиды равны а. Найти двугранные углы при боковых ребрах.

Решение. Обозначим временно сторону основания пирамиды через а. Проведем сечение пирамиды плоскостью, содержащей ее высоту SO и медиану основания AM (рис. 390).

Елена Голубева

Презентация для изучения темы "Тела вращения".

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса .

Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .

Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания.

Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

К о н у с

Наглядно прямой круговой конус можно представить себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса. Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания. Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота – h , а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d . Найдите h , если r = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм. ЗАДАЧА Дано: Цилиндр, r = 10 дм – радиус основания, d = 8 дм – расстояние от ОО1 до АВ, АВ = 13 дм, h – высота. Найти: h . А 1 О О 1 В 1 K Решение: Построим секущую плоскость ВВ 1 АА 1 , параллельную оси цилиндра, в которой лежит прямая АВ. Получили прямоугольник с диагональю АВ. ВВ 1 АА 1 ║ОО 1 . ВВ 1 = АА 1 = h . ВАВ 1 – прямоугольный. По теореме Пифагора: ВВ 1 = √ АВ ² - АВ 1 ² Найдем АВ 1: ∆ОАВ1 – равнобедренный (ОА = ОВ1 = r). ОК = d т. к. ОК ┴ АВ1 (высота ∆ ОАВ1), то ОК – медиана (К – середина отрезка АВ1). ∆АОК – прямоугольный, по теореме Пифагора: КА = √ ОА ² - ОК ² , КА = √ 10 ² - 8 ² = 6 дм АВ1 = 2 · КА = 6 · 2 = 12 дм ВВ1 = √ 13 ² - 12 ² = √ (13 - 12)(13 + 12) = 5 дм, h = ВВ1 = 5 дм.

Дано: цилиндр ABCD – сечение, квадрат дуга AD - 90 ° R = 4 см Найти: S ABCD Решение: S ABCD = AB · BC = BC 2 , т.к. ABCD – квадрат ВОС – прямоугольный, т.к. дуга AD - 90 ° ВОС = 90 ° ОС = ОВ = 4 (см), т.к. ОС и ОВ – радиусы основания ВС = ОВ 2 + ОС 2 = 4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 (см) S ABCD = (4 2) 2 = 32 (см 2) Ответ: 32 см 2