Как найти х в геометрической прогрессии формула. Геометрическая прогрессия. Исчерпывающий гид с примерами (2019)
Это число называется знаменателем геометрической прогрессии, т. е. каждый член отличается от предыдущего в q раз. (Будем считать, что q ≠ 1, иначе все уж слишком тривиально). Нетрудно видеть, что общая формула n -го члена геометрической прогрессии b n = b 1 q n – 1 ; члены с номерами b n и b m отличаются в q n – m раз.Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
 |
|
Рис. 1. Древнеегипетская задача о геометрической прогресии |
Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Эту формулу можно доказать, например, так: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .
Добавим к S n число b 1 q n и получим:
|
Отсюда S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) , и мы получаем необходимую формулу.
Уже на одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Правда, как и в ряде других случаев мы не знаем, откуда этот факт был известен вавилонянам.
Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. В известной легенде о появлении шахмат властелин предоставляет их изобретателю возможность самому выбрать награду, и тот просит такое количество пшеничных зерен, которое получится, если одно положить на первую клетку шахматной доски, два – на вторую, четыре – на третью, восемь – на четвертую и т. д., всякий раз число увеличивается вдвое. Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (2 64 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре.
То, что это число действительно 20-значное, увидеть нетрудно:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (более точный расчет дает 1,84∙10 19). А вот интересно, сможете ли вы узнать, какой цифрой оканчивается данное число?
Геометрическая прогрессия бывает возрастающей, если знаменатель по модулю больше 1, или убывающей, если он меньше единицы. В последнем случае число q n при достаточно больших n может стать сколь угодно малым. В то время как возрастающая геометрическая прогрессия возрастает неожиданно быстро, убывающая столь же быстро убывает.
Чем больше n , тем слабее число q n отличается от нуля, и тем ближе сумма n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (1 – q n ) / (1 – q ) к числу S = b 1 / (1 – q ) . (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.
Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?
|
Рис. 2. Прогрессия с коэффициентом 1/2 |
В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v , черепаха движется со скоростью u , а первоначальное расстояние между ними равно l . Это расстояние Ахиллес пробежит за время l /v , черепаха за это время сдвинется на расстояние lu /v . Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной l (u /v ) 2 , и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u /v . Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен l / (1 – u /v ) = lv / (v – u ) . Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.
|
Рис. 3. Геометрическая прогрессия с коэффициентом 2/3 |
Сумму геометрической прогрессии использовал Архимед при определении площади сегмента параболы. Пусть данный сегмент параболы отграничен хордой AB и пусть в точке D параболы касательная параллельна AB . Пусть C – середина AB , E – середина AC , F – середина CB . Проведем прямые, параллельные DC , через точки A , E , F , B ; пусть касательную, проведенную в точке D , эти прямые пересекают в точках K , L , M , N . Проведем также отрезки AD и DB . Пусть прямая EL пересекает прямую AD в точке G , а параболу в точке H ; прямая FM пересекает прямую DB в точке Q , а параболу в точке R . Согласно общей теории конических сечений, DC – диаметр параболы (то есть отрезок, параллельный ее оси); он и касательная в точке D могут служить осями координат x и y , в которых уравнение параболы записывается как y 2 = 2px (x – расстояние от D до какой-либо точки данного диаметра, y – длина параллельного данной касательной отрезка от этой точки диаметра до некоторой точки на самой параболе).
В силу уравнения параболы, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а поскольку DK = 2DL , то KA = 4LH . Т. к. KA = 2LG , LH = HG . Площадь сегмента ADB параболы равна площади треугольника ΔADB и площадям сегментов AHD и DRB , вместе взятых. В свою очередь, площадь сегмента AHD аналогичным образом равна площади треугольника AHD и оставшихся сегментов AH и HD , с каждым из которых можно провести ту же операцию – разбить на треугольник (Δ) и два оставшихся сегмента (), и т. д.:
Площадь треугольника ΔAHD равна половине площади треугольника ΔALD (у них общее основание AD , а высоты отличаются в 2 раза), которая, в свою очередь, равна половине площади треугольника ΔAKD , а значит, и половине площади треугольника ΔACD . Таким образом, площадь треугольника ΔAHD равна четверти площади треугольника ΔACD . Аналогично, площадь треугольника ΔDRB равна четверти площади треугольника ΔDFB . Итак, площади треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятые, равны четверти площади треугольника ΔADB . Повторение этой операции в применении к сегментам AH , HD , DR и RB выделит и из них треугольники, площадь которых, вместе взятых, будет в 4 раза меньше, чем площадь треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятых, а значит, в 16 раз меньше, чем площади треугольника ΔADB . И так далее:
Таким образом, Архимед доказал, что «всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту».
Формула n-го члена геометрической прогрессии – штука очень простая. Как по смыслу, так и по общему виду. Но задачки на формулу n-го члена встречаются всякие – от совсем примитивных до вполне себе серьёзных. И в процессе нашего знакомства мы обязательно рассмотрим и те и другие. Ну что, знакомимся?)
Итак, для начала собственно сама формула n
Вот она:
b n = b 1 · q n -1
Формула как формула, ничего сверхъестественного. Выглядит даже проще и компактнее, чем аналогичная формула для . Смысл формулы тоже прост, как валенок.
Эта формула позволяет находить ЛЮБОЙ член геометрической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ " n ".
Как вы видите, по смыслу полная аналогия с арифметической прогрессией. Знаем номер n – можем посчитать и член, стоящий под этим номером. Какой хотим. Не умножая последовательно на "q" много-много раз. Вот и весь смысл.)
Я понимаю, что на данном уровне работы с прогрессиями все входящие в формулу величины вам уже должны быть понятны, но считаю своим долгом всё-таки расшифровать каждую. На всякий случай.
Итак, поехали:
b 1 – первый член геометрической прогрессии;
q – ;
n – номер члена;
b n – энный (n -й) член геометрической прогрессии.
Эта формулка связывает четыре главных параметра любой геометрической прогрессии – b n , b 1 , q и n . И вокруг этих четырёх ключевых фигур и вертятся все-все задачки по прогрессии.
"А как она выводится?" – слышу любопытный вопрос… Элементарно! Смотрите!
Чему равен второй член прогрессии? Не вопрос! Прямо по пишем:
b 2 = b 1 ·q
А третий член? Тоже не проблема! Второй член помножаем ещё раз на q .
Вот так:
B 3 = b 2 ·q
Вспомним теперь, что второй член, в свою очередь, у нас равен b 1 ·q и подставим это выражение в наше равенство:
B 3 = b 2 ·q = (b 1 ·q)·q = b 1 ·q·q = b 1 ·q 2
Получаем:
B 3 = b 1 ·q 2
А теперь прочитаем нашу запись по-русски: третий член равен первому члену, умноженному на q во второй степени. Улавливаете? Пока нет? Хорошо, ещё один шаг.
Чему равен четвёртый член? Всё то же самое! Умножаем предыдущий (т.е. третий член) на q:
B 4 = b 3 ·q = (b 1 ·q 2)·q = b 1 ·q 2 ·q = b 1 ·q 3
Итого:
B 4 = b 1 ·q 3
И снова переводим на русский язык: четвёртый член равен первому члену, умноженному на q в третьей степени.
И так далее. Ну и как? Уловили закономерность? Да! Для любого члена с любым номером количество одинаковых множителей q (т.е. степень знаменателя) всегда будет на единичку меньше, чем номер искомого члена n .
Стало быть, наша формула будет, без вариантов:
b n = b 1 · q n -1
Вот и все дела.)
Ну что, порешаем задачки, наверное?)
Решение задач на формулу n -го члена геометрической прогрессии.
Начнём, как обычно, с прямого применения формулы. Вот типичная задачка:
В геометрической прогрессии известно, что b 1 = 512 и q = -1/2. Найдите десятый член прогрессии.
Конечно, эту задачку можно вообще безо всяких формул решить. Прямо по смыслу геометрической прогрессии. Но нам ведь с формулой n-го члена размяться нужно, правда? Вот и разминаемся.
Наши данные для применения формулы следующие.
Известен первый член. Это 512.
b 1 = 512.
Известен также знаменатель прогрессии: q = -1/2.
Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нас интересует десятый член? Вот и подставляем в общую формулу десятку вместо n.
И аккуратно считаем арифметику:
Ответ: -1
Как видим, десятый член прогрессии оказался с минусом. Ничего удивительного: знаменатель прогрессии у нас -1/2, т.е. отрицательное число. А это говорит нам о том, что знаки у нашей прогрессии чередуются, да.)
Здесь всё просто. А вот похожая задачка, но немного посложнее в плане вычислений.
В геометрической прогрессии известно, что:
b 1 = 3
Найдите тринадцатый член прогрессии.
Всё то же самое, только в этот раз знаменатель прогрессии – иррациональный . Корень из двух. Ну и ничего страшного. Формула – штука универсальная, с любыми числами справляется.
Работаем прямо по формуле:
Формула, конечно, сработала как надо, но… вот тут некоторые и зависнут. Что дальше делать с корнем? Как возвести корень в двенадцатую степень?
Как-как… Надо понимать, что любая формула, конечно, дело хорошее, но знание всей предыдущей математики при этом не отменяется! Как возвести? Да свойства степеней вспомнить! Превратим корень в степень с дробным показателем и – по формуле возведения степени в степень.
Вот так:
Ответ: 192
И все дела.)
В чём состоит основная трудность при прямом применении формулы n-го члена? Да! Основная трудность – это работа со степенями! А именно – возведение в степень отрицательных чисел, дробей, корней и тому подобных конструкций. Так что те, у кого с этим проблемы, настоятельная просьба повторить степени и их свойства! Иначе и в этой теме будете тормозить, да…)
А теперь порешаем типовые задачки на поиск одного из элементов формулы , если даны все остальные. Для успешного решения таких задач рецепт един и прост до ужаса – пишем формулу n -го члена в общем виде! Прямо в тетрадке рядышком с условием. А затем из условия соображаем, что нам дано, а чего не хватает. И выражаем из формулы искомую величину. Всё!
Например, такая безобидная задачка.
Пятый член геометрической прогрессии со знаменателем 3 равен 567. Найдите первый член этой прогрессии.
Ничего сложного. Работаем прямо по заклинанию.
Пишем формулу n-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Что нам дано? Во-первых, дан знаменатель прогрессии: q = 3.
Кроме того, нам дан пятый член : b 5 = 567 .
Всё? Нет! Ещё нам дан номер n! Это – пятёрка: n = 5.
Надеюсь, вы уже понимаете, что в записи b 5 = 567 скрыты сразу два параметра – это сам пятый член (567) и его номер (5). В аналогичном уроке по я об этом уже говорил, но и здесь считаю не лишним напомнить.)
Вот теперь подставляем наши данные в формулу:
567 = b 1 ·3 5-1
Считаем арифметику, упрощаем и получаем простенькое линейное уравнение:
81 b 1 = 567
Решаем и получаем:
b 1 = 7
Как вы видите, с поиском первого члена проблем никаких. А вот при поиске знаменателя q и номера n могут встречаться и сюрпризы. И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да.)
Например, такая задачка:
Пятый член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.
В этот раз нам даны первый и пятый члены, а найти просят знаменатель прогрессии. Вот и приступаем.
Пишем формулу n -го члена!
b n = b 1 · q n -1
Наши исходные данные будут следующими:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Не хватает значения q . Не вопрос! Сейчас найдём.) Подставляем в формулу всё что нам известно.
Получаем:
162 = 2· q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Простенькое уравнение четвёртой степени. А вот сейчас – аккуратно! На данном этапе решения многие ученики сразу же радостно извлекают корень (четвёртой степени) и получают ответ q =3 .
Вот так:
q 4 = 81
q = 3
Но вообще-то, это недоделанный ответ. Точнее, неполный. Почему? Дело в том, что ответ q = -3 тоже подходит: (-3) 4 тоже будет 81!
Всё из-за того, что степенное уравнение x n = a всегда имеет два противоположных корня при чётном n . С плюсом и с минусом:
Оба подходят.
Например, решая (т.е. второй степени)
x 2 = 9
Вы же почему-то не удивляетесь появлению двух корней x=±3? Вот и тут то же самое. И с любой другой чётной степенью (четвёртой, шестой, десятой и т.д.) будет так же. Подробности – в теме про
Поэтому правильное решение будет таким:
q 4 = 81
q = ±3
Хорошо, со знаками разобрались. Какой же из них правильный – плюс или минус? Что ж, читаем ещё раз условие задачи в поисках дополнительной информации. Её, конечно, может и не быть, но в данной задаче такая информация имеется. У нас в условии прямым текстом сказано, что дана прогрессия с положительным знаменателем.
Поэтому ответ очевиден:
q = 3
Здесь-то всё просто. А как вы думаете, что было бы, если бы формулировка задачи была бы вот такой:
Пятый член геометрической прогрессии равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.
В чём отличие? Да! В условии ничего не сказано про знак знаменателя. Ни прямо, ни косвенно. И вот тут задачка уже имела бы два решения!
q = 3 и q = -3
Да-да! И с плюсом и с минусом.) Математически сей факт означал бы, что существуют две прогрессии , которые подходят под условие задачи. И для каждой – свой знаменатель. Ради интереса, потренируйтесь и выпишите первые пять членов каждой из них.)
А теперь потренируемся номер члена находить. Эта задачка самая сложная, да. Но зато и более творческая.)
Дана геометрическая прогрессия:
3; 6; 12; 24; …
Под каким номером в этой прогрессии стоит число 768?
Первый шаг всё тот же: пишем формулу n -го члена!
b n = b 1 · q n -1
А теперь, как обычно, подставляем в неё известные нам данные. Гм… не подставляется! Где первый член, где знаменатель, где всё остальное?!
Где-где… А глазки нам зачем? Ресницами хлопать? В этот раз прогрессия задана нам напрямую в виде последовательности. Первый член видим? Видим! Это – тройка (b 1 = 3). А знаменатель? Пока не видим, но он очень легко считается. Если, конечно, понимать, .
Вот и считаем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии: берём любой её член (кроме первого) и делим на предыдущий.
Хотя бы вот так:
q = 24/12 = 2
Что ещё нам известно? Нам ещё известен некоторый член этой прогрессии, равный 768. Под каким-то номером n:
b n = 768
Номер его нам неизвестен, но наша задача как раз и состоит в том, чтобы его отыскать.) Вот и ищем. Все необходимые данные для подстановки в формулу мы уже скачали. Незаметно для себя.)
Вот и подставляем:
768 = 3·2 n -1
Делаем элементарные – делим обе части на тройку и переписываем уравнение в привычном виде: неизвестное слева, известное - справа.
Получаем:
2 n -1 = 256
Вот такое интересное уравнение. Надо найти "n". Что, непривычно? Да, я не спорю. Вообще-то, это простейшее . Оно так называется из-за того, что неизвестное (в данном случае это – номер n ) стоит в показателе степени.
На этапе знакомства с геометрической прогрессией (это девятый класс) показательные уравнения решать не учат, да… Это тема старших классов. Но страшного ничего нет. Даже если вы не в курсе, как решаются такие уравнения, попробуем найти наше n , руководствуясь простой логикой и здравым смыслом.
Начинаем рассуждать. Слева у нас стоит двойка в какой-то степени . Мы пока не знаем, что это конкретно за степень, но это и не страшно. Но зато мы твёрдо знаем, что эта степень равна 256! Вот и вспоминаем, в какой же степени двойка даёт нам 256. Вспомнили? Да! В восьмой степени!
256 = 2 8
Если не вспомнили или с распознаванием степеней проблемы, то тоже ничего страшного: просто последовательно возводим двойку в квадрат, в куб, в четвёртую степень, пятую и так далее. Подбор, фактически, но на данном уровне – вполне прокатит.
Так или иначе, мы получим:
2 n -1 = 2 8
n -1 = 8
n = 9
Итак, 768 – это девятый член нашей прогрессии. Всё, задача решена.)
Ответ: 9
Что? Скучно? Надоела элементарщина? Согласен. И мне тоже. Шагаем на следующий уровень.)
Более сложные задачи.
А теперь решаем задачки покруче. Не то чтобы совсем уж сверхкрутые, но над которыми предстоит немного поработать, чтобы добраться до ответа.
Например, такая.
Найдите второй член геометрической прогрессии, если четвёртый её член равен -24, а седьмой член равен 192.
Это классика жанра. Известны какие-то два разных члена прогрессии, а найти надо ещё какой-то член. Причём все члены НЕ соседние. Что и смущает поначалу, да…
Как и в , для решения таких задач рассмотрим два способа. Первый способ – универсальный. Алгебраический. Работает безотказно и с любыми исходными данными. Поэтому именно с него и начнём.)
Расписываем каждый член по формуле n -го члена!
Всё точь-в-точь как с арифметической прогрессией. Только в этот раз работаем с другой общей формулой. Вот и всё.) Но суть та же самая: берём и поочерёдно подставляем в формулу n-го члена наши исходные данные. Для каждого члена – свои.
Для четвёртого члена записываем:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Есть. Одно уравнение готово.
Для седьмого члена пишем:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Итого получили два уравнения для одной и той же прогрессии .
Собираем из них систему:
Несмотря на её грозный вид, системка совсем простая. Самый очевидный способ решения – обычная подстановка. Выражаем b 1 из верхнего уравнения и подставляем в нижнее:
Немного повозившись с нижним уравнением (сократив степени и поделив на -24), получим:
q 3 = -8
К этому же уравнению, между прочим, можно прийти и более простым путём! Каким? Сейчас я вам продемонстрирую ещё один секретный, но оч-чень красивый, мощный и полезный способ решения подобных систем. Таких систем, в уравнениях которых сидят только произведения. Хотя бы в одном. Называется метод почленного деления одного уравнения на другое.
Итак, перед нами система:
В обоих уравнениях слева – произведение , а справа – просто число. Это очень хороший знак.) Давайте возьмём и… поделим, скажем, нижнее уравнение на верхнее! Что значит, поделим одно уравнение на другое? Очень просто. Берём левую часть одного уравнения (нижнего) и делим её на левую часть другого уравнения (верхнего). С правой частью аналогично: правую часть одного уравнения делим на правую часть другого.
Весь процесс деления выглядит так:
Теперь, сократив всё, что сокращается, получим:
q 3 = -8
Чем хорош этот способ? Да тем, что в процессе такого деления всё нехорошее и неудобное может благополучно сократиться и остаться вполне безобидное уравнение! Именно поэтому так важно наличие только умножения хотя бы в одном из уравнений системы. Нету умножения – нечего и сокращать, да…
А вообще, этот способ (как и многие другие нетривиальные способы решения систем) даже заслуживает отдельного урока. Обязательно его разберу поподробнее. Когда-нибудь…
Впрочем, неважно, как именно вы решаете систему, в любом случае теперь нам надо решить получившееся уравнение:
q 3 = -8
Никаких проблем: извлекаем корень (кубический) и – готово!
Прошу заметить, что здесь при извлечении ставить плюс/минус не нужно. Нечётной (третьей) степени у нас корень. И ответ – тоже один, да.)
Итак, знаменатель прогрессии найден. Минус два. Отлично! Процесс идёт.)
Для первого члена (скажем, из верхнего уравнения) мы получим:
Отлично! Знаем первый член, знаем знаменатель. И теперь у нас появилась возможность найти любой член прогрессии. В том числе и второй.)
Для второго члена всё совсем просто:
b 2 = b 1 · q = 3·(-2) = -6
Ответ: -6
Итак, алгебраический способ решения задачи мы с вами разложили по полочкам. Сложно? Не очень, согласен. Долго и нудно? Да, безусловно. Но иногда можно существенно сократить объём работы. Для этого есть графический способ. Старый добрый и знакомый нам по .)
Рисуем задачу!
Да! Именно так. Снова изображаем нашу прогрессию на числовой оси. Не обязательно по линеечке, не обязательно выдерживать равные интервалы между членами (которые, кстати, и не будут одинаковыми, т.к. прогрессия - геометрическая!), а просто схематично рисуем нашу последовательность.
У меня получилось вот так:
А теперь смотрим на картинку и соображаем. Сколько одинаковых множителей "q" разделяют четвёртый и седьмой члены? Верно, три!
Стало быть, имеем полное право записать:
-24· q 3 = 192
Отсюда теперь легко ищется q:
q 3 = -8
q = -2
Вот и отлично, знаменатель у нас уже в кармане. А теперь снова смотрим на картинку: сколько таких знаменателей сидит между вторым и четвёртым членами? Два! Стало быть, для записи связи между этими членами знаменатель будем возводить в квадрат .
Вот и пишем:
b 2 · q 2 = -24 , откуда b 2 = -24/ q 2
Подставляем наш найденный знаменатель в выражение для b 2 , считаем и получаем:
Ответ: -6
Как видим, всё гораздо проще и быстрее, чем через систему. Более того, здесь нам вообще даже не понадобилось считать первый член! Совсем.)
Вот такой простой и наглядный способ-лайт. Но есть у него и серьёзный недостаток. Догадались? Да! Он годится только для очень коротких кусочков прогрессии. Таких, где расстояния между интересующими нас членами не очень большие. А вот во всех остальных случаях картинку рисовать уже затруднительно, да… Тогда решаем задачу аналитически, через систему.) А системы – штука универсальная. С любыми числами справляются.
Ещё одна эпичная задачка:
Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого, а третий член на 30 больше второго. Найдите знаменатель прогрессии.
Что, круто? Вовсе нет! Всё то же самое. Снова переводим условие задачи в чистую алгебру.
1) Расписываем каждый член по формуле n -го члена!
Второй член: b 2 = b 1 ·q
Третий член: b 3 = b 1 ·q 2
2) Записываем связь между членами из условия задачи.
Читаем условие: "Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого". Стоп, это ценно!
Так и пишем:
b 2 = b 1 +10
И эту фразу переводим в чистую математику:
b 3 = b 2 +30
Получили два уравнения. Объединяем их в систему:
Система на вид простенькая. Но что-то уж много различных индексов у буковок. Подставим-ка вместо второго и третьего членов их выражения через первый член и знаменатель! Зря, что ли, мы их расписывали?
Получим:
А вот такая система – уже не подарок, да… Как такое решать? К сожалению, универсального секретного заклинания на решение сложных нелинейных систем в математике нет и быть не может. Это фантастика! Но первое что должно приходить вам в голову при попытке разгрызть подобный крепкий орешек – это прикинуть, а не сводится ли одно из уравнений системы к красивому виду, позволяющему, например, легко выразить одну из переменных через другую?
Вот и прикинем. Первое уравнение системы явно проще второго. Его и подвергнем пыткам.) А не попробовать ли из первого уравнения что-то выразить через что-то? Раз уж мы хотим найти знаменатель q , то выгоднее всего нам было бы выразить b 1 через q .
Вот и попробуем проделать эту процедуру с первым уравнением, применяя старые добрые :
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Всё! Вот мы и выразили ненужную нам переменную (b 1) через нужную (q). Да, не самое простое выражение получили. Дробь какую-то… Но и система у нас приличного уровня, да.)
Типичное . Что делать – знаем.
Пишем ОДЗ (обязательно!) :
q ≠ 1
Умножаем всё на знаменатель (q-1) и сокращаем все дроби:
10 q 2 = 10 q + 30(q -1)
Делим всё на десятку, раскрываем скобки, собираем всё слева:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Решаем получившееся и получаем два корня:
q 1 = 1
q 2 = 3
Окончательный ответ один: q = 3 .
Ответ: 3
Как вы видите, путь решения большинства задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии всегда един: читаем внимательно условие задачи и с помощью формулы n-го члена переводим всю полезную информацию в чистую алгебру.
А именно:
1) Расписываем отдельно каждый данный в задаче член по формуле n -го члена.
2) Из условия задачи переводим связь между членами в математическую форму. Составляем уравнение или систему уравнений.
3) Решаем полученное уравнение или систему уравнений, находим неизвестные параметры прогрессии.
4) В случае неоднозначного ответа читаем внимательно условие задачи в поисках дополнительной информации (если таковая присутствует). Также сверяем полученный ответ с условиями ОДЗ (если таковые имеются).
А теперь перечислим основные проблемы, наиболее часто приводящие к ошибкам в процессе решения задач на геометрическую прогрессию.
1. Элементарная арифметика. Действия с дробями и отрицательными числами.
2. Если хотя бы с одним из этих трёх пунктов проблемы, то неизбежно будете ошибаться и в этой теме. К сожалению… Так что не ленитесь и повторите то о чём упомянуто выше. И по ссылочкам – сходите. Иногда помогает.)
Видоизменённые и рекуррентные формулы.
А теперь рассмотрим парочку типичных экзаменационных задачек с менее привычной подачей условия. Да-да, вы угадали! Это видоизменённые и рекуррентные формулы n-го члена. С такими формулами мы уже с вами сталкивались и работали в по арифметической прогрессии. Здесь всё аналогично. Суть та же.
Например, такая задачка из ОГЭ:
Геометрическая прогрессия задана формулой b n = 3·2 n . Найдите сумму первого и четвёртого её членов.
В этот раз прогрессия нам задана не совсем привычно. В виде какой-то формулы. Ну и что? Эта формула – тоже формула n -го члена! Мы же с вами знаем, что формулу n-го члена можно записать как в общем виде, через буквы, так и для конкретной прогрессии . С конкретными первым членом и знаменателем.
В нашем случае нам, на самом деле, задана формула общего члена для геометрической прогрессии вот с такими параметрами:
b 1 = 6
q = 2
Проверим?) Запишем формулу n-го члена в общем виде и подставим в неё b 1 и q . Получим:
b n = b 1 · q n -1
b n = 6·2 n -1
Упрощаем, используя разложение на множители и свойства степеней, и получаем:
b n = 6·2 n -1 = 3·2·2 n -1 = 3·2 n -1+1 = 3·2 n
Как видите, всё честно. Но наша с вами цель – не продемонстрировать вывод конкретной формулы. Это так, лирическое отступление. Чисто для понимания.) Наша цель - решить задачу по той формуле, что дана нам в условии. Улавливаете?) Вот и работаем с видоизменённой формулой напрямую.
Считаем первый член. Подставляем n =1 в общую формулу:
b 1 = 3·2 1 = 3·2 = 6
Вот так. Кстати, не поленюсь и ещё раз обращу ваше внимание на типовой ляп с подсчётом первого члена. НЕ НАДО, глядя на формулу b n = 3·2 n , сразу бросаться писать, что первый член – тройка! Это – грубейшая ошибка, да…)
Продолжаем. Подставляем n =4 и считаем четвёртый член:
b 4 = 3·2 4 = 3·16 = 48
Ну и наконец, считаем требуемую сумму:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Ответ: 54
Ещё задачка.
Геометрическая прогрессия задана условиями:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Найдите четвёртый член прогрессии.
Здесь прогрессия задана рекуррентной формулой. Ну и ладно.) Как работать с такой формулой – тоже знаем.
Вот и действуем. По шагам.
1) Считаем два последовательных члена прогрессии.
Первый член нам уже задан. Минус семь. А вот следующий, второй член, легко можно посчитать по рекуррентной формуле. Если понимать принцип её работы, конечно.)
Вот и считаем второй член по известному первому:
b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21
2) Считаем знаменатель прогрессии
Тоже никаких проблем. Прямо , делим второй член на первый.
Получаем:
q = -21/(-7) = 3
3) Пишем формулу n -го члена в привычном виде и считаем нужный член.
Итак, первый член знаем, знаменатель – тоже. Вот и пишем:
b n = -7·3 n -1
b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Ответ: -189
Как вы видите, работа с такими формулами для геометрической прогрессии ничем по своей сути не отличается от таковой для прогрессии арифметической. Важно лишь понимать общую суть и смысл этих формул. Ну и смысл геометрической прогрессии тоже надо понимать, да.) И тогда глупых ошибок не будет.
Ну что, порешаем самостоятельно?)
Совсем элементарные задачки, для разминки:
1. Дана геометрическая прогрессия, в которой b 1 = 243, а q = -2/3. Найдите шестой член прогрессии.
2. Общий член геометрической прогрессии задан формулой b n = 5∙2 n +1 . Найдите номер последнего трёхзначного члена этой прогрессии.
3. Геометрическая прогрессия задана условиями:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Найдите пятый член прогрессии.
Чуть посложнее:
4. Дана геометрическая прогрессия:
b 1 =2048; q =-0,5
Чему равен шестой отрицательный её член?
Что, кажется суперсложно? Вовсе нет. Спасёт логика и понимание смысла геометрической прогрессии. Ну и формула n-го члена, само собой.
5. Третий член геометрической прогрессии равен -14, а восьмой член равен 112. Найдите знаменатель прогрессии.
6. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите шестой член прогрессии.
Ответы (в беспорядке): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Вот почти и всё. Осталось лишь научиться нам считать сумму n первых членов геометрической прогрессии да открыть для себя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумму. Очень интересную и необычную штуку, между прочим! Об этом - в следующих уроках.)
>>Математика: Геометрическая прогрессия
Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе.
1. Основные понятия.
Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией . При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (b n), заданная рекуррентно соотношениями
Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно то перед вами- геометрическая прогрессия.
Пример 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.
Пример 2.
Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 3.
Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 - 8, q = 1.
Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15).
Пример 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1.
Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).
Для обозначения того, что последовательность (b n) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:
Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Отметим одно любопытное и в то же время достаточно очевидное свойство геометрической прогрессии:
Если последовательность 
является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. 
является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен а равен q 2 .
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за b n , то получится конечная геометрическая прогрессия 
В дальнейших пунктах этого параграфа мы рассмотрим наиболее важные свойства геометрической прогрессии.
2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.
Рассмотрим геометрическую прогрессию 
знаменателем q. Имеем:
Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство
Это - формула n-го члена геометрической прогрессии.
Замечание.
Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Перепишем формулу n-го члена геометрической прогрессии
и введем обозначения: Получим у = mq 2 , или, подробнее, 
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел . На рис. 96а изображен график функции рис. 966 - график функции 
В обоих случаях имеем изолированные точки (с абсциссами х= 1, х = 2, х = 3 и т.д.), лежащие на некоторой кривой (на обоих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в курсе алгебры 11-го класса.
Вернемся к примерам 1-5 из предыдущего пункта.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь 1 = 1, q = 3. Составим формулу n-го члена 
2) 
Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена
Это геометрическая прогрессия, у которой 
Составим формулу n-го члена 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 8, q = 1. Составим формулу n-го члена 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1. Составим формулу n-го члена 
Пример 6.
Дана геометрическая прогрессия
Во всех случаях в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии
а) Положив в формуле n-го члена геометрической прогрессии n = 6, получим
б) Имеем
Так как 512 = 2 9 , то получаем п - 1 = 9, п = 10.
г) Имеем
Пример 7.
Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.
Первый этап. Составление математической модели .
Условия задачи можно кратко записать так:
Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, получим:
Тогда второе условие задачи (b 7 - b 5 = 48) можно записать в виде
Третье условие задачи (b 5 +b 6 = 48) можно записать в виде
В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными b 1 и q:
которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.
Второй этап.
Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:
(мы разделили обе части уравнения на выражение b 1 q 4 , отличное от нуля).
Из уравнения q 2 - q - 2 = 0 находим q 1 = 2, q 2 = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим 
Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим b 1 1 0 = 48; это уравнение не имеет решений.
Итак, b 1 =1, q = 2 - эта пара является решением составленной системы уравнений.
Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Третий этап.
Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b 12 . Имеем
О т в е т: b 12 = 2048.
3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
Обозначим через S n сумму ее членов, т.е.
Выведем формулу для отыскания этой суммы .
Начнем с самого простого случая, когда q = 1. Тогда геометрическая прогрессия b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn состоит из n чисел, равных b 1 , т.е. прогрессия имеет вид b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Сумма этих чисел равна nb 1 .
Пусть теперь q = 1 Для отыскания S n применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения S n q. Имеем:
Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой n-го члена геометрической прогрессии:
Из формулы (1) находим:
Это - формула суммы n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1).
Пример 8.
Дана конечная геометрическая прогрессия
а) сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.
б) Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат , то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь 2 и знаменателем q 2 . Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по
Пример 9.
Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой
Фактически мы доказали следующую теорему.
Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема (и последнего, в случае конечной последовательности),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии).
Начальный уровень
Геометрическая прогрессия. Исчерпывающий гид с примерами (2019)
Числовая последовательность
Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:
Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:
Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называетмя -ным членом последовательности.
Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .
В нашем случае:
Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде - геометрической прогрессии .
Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.
Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?
В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на. Ещё через год уже эта сумма увеличится на, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на и так далее. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов - процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.
Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения - человек, а те в свою очередь, заразили еще … и так далее…
Кстати, финансовая пирамида, та же МММ - это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.
Геометрическая прогрессия.
Допустим, у нас есть числовая последовательность:
Ты сразу же ответишь, что это легко и имя такой последовательности - арифметическая прогрессия с разностью ее членов. А как на счет такого:
Если ты будешь вычитать из последующего числа предыдущее, то ты увидишь, что каждый раз получается новая разница (и т.д.), но последовательность определенно существует и ее несложно заметить - каждое следующие число в раз больше предыдущего!
Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается.
Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Ограничения, что первый член { } не равен и не случайны. Допустим, что их нет, и первый член все же равен, а q равно, хм.. пусть, тогда получается:
Согласись, что это уже никакая не прогрессия.
Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если будет каким-либо числом, отличным от нуля, а. В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.
Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о.
Повторим: - это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.
Как ты думаешь, каким может быть? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).
Допустим, что у нас положительное. Пусть в нашем случае, а. Чему равен второй член и? Ты без труда ответишь, что:
Все верно. Соответственно, если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак - они положительны .
А что если отрицательное? Например, а. Чему равен второй член и?
Это уже совсем другая история
Попробуй посчитать член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня. Таким образом, если, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на отрицательный. Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.
Теперь немного потренируемся: попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:
Разобрался? Сравним наши ответы:
- Геометрическая прогрессия - 3, 6.
- Арифметическая прогрессия - 2, 4.
- Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.
Вернемся к нашей последней прогрессии, а и попробуем так же как и в арифметической найти ее член. Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения.
Последовательно умножаем каждый член на.
Итак, -ой член описанной геометрической прогрессии равен.
Как ты уже догадываешься, сейчас ты сам выведешь формулу, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии. Или ты ее уже вывел для себя, расписывая, как поэтапно находить -ой член? Если так, то проверь правильность твоих рассуждений.
Проиллюстрируем это на примере нахождения -го члена данной прогрессии:
Иными словами:
Найди самостоятельно значение члена заданной геометрической прогрессии.
Получилось? Сравним наши ответы:
Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно умножали на каждый предыдущий член геометрической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:
Выведенная формула верна для всех значений - как положительных, так и отрицательных. Проверь это самостоятельно, рассчитав и члены геометрической прогрессии со следующими условиями: , а.
Посчитал? Сравним полученные результаты:
Согласись, что находить член прогрессии можно было бы так же как и член, однако, есть вероятность неправильно посчитать. А если мы нашли уже -ый член геометрической прогрессии, а, то что может быть проще, чем воспользоваться «обрезанной» частью формулы.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Совсем недавно мы говорили о том, что может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей .
Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из членов.
Допустим, а, тогда:
Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в раза, но будет ли какое-либо число? Ты сразу же ответишь - «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая - убывает, убывает, а нулем никогда не становится.
Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула приобретает следующий вид:
На графиках нам привычно строить зависимость от, поэтому:
Суть выражения не изменилась: в первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера, а во второй записи - мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за, а порядковый номер обозначили не как, а как. Все, что осталось сделать - построить график.
Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:
Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата и:
Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при, если первый ее член также равен. Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?
Справился? Вот какой график получился у меня:
Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.
Свойство геометрической прогрессии.
Помнишь свойство членов арифметической прогрессии? Да, да, как найти значение определенного числа прогрессии, когда есть предыдущее и последующее значения членов данной прогрессии. Вспомнил? Вот это:
Теперь перед нами стоит точно такой же вопрос для членов геометрической прогрессии. Чтобы вывести подобную формулу, давай начнем рисовать и рассуждать. Вот увидишь, это очень легко, и если ты забудешь, то сможешь вывести ее самостоятельно.
Возьмем еще одну простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны и. Как найти? При арифметической прогрессии это легко и просто, а как здесь? На самом деле в геометрической тоже нет ничего сложного - необходимо просто расписать по формуле каждое данное нам значение.
Ты спросишь, и что теперь нам с этим делать? Да очень просто. Для начала изобразим данные формулы на рисунке, и попытаемся сделать с ними различные манипуляции, чтобы прийти к значению.
Абстрагируемся от чисел, которые у нас даны, сосредоточимся только на их выражении через формулу. Нам необходимо найти значение, выделенное оранжевым цветом, зная соседствующие с ним члены. Попробуем произвести с ними различные действия, в результате которых мы сможем получить.
Сложение.
Попробуем сложить два выражения и, мы получим:
Из данного выражения, как ты видишь, мы никак не сможем выразить, следовательно, будем пробовать другой вариант - вычитание.
Вычитание.
Как ты видишь, из этого мы тоже не можем выразить, следовательно, попробуем умножить данные выражения друг на друга.
Умножение.
А теперь посмотри внимательно, что мы имеем, перемножая данные нам члены геометрической прогрессии в сравнении с тем, что необходимо найти:
Догадался о чем я говорю? Правильно, чтобы найти нам необходимо взять квадратный корень от перемноженных друг на друга соседствующих с искомым чисел геометрической прогрессии:
Ну вот. Ты сам вывел свойство геометрической прогрессии. Попробуй записать эту формулу в общем виде. Получилось?
Забыл условие при? Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать, при. Что получится в этом случае? Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:
Соответственно, не забывай это ограничение.
Теперь посчитаем, чему же равно
Правильный ответ - ! Если ты при расчете не забыл второе возможное значение, то ты большой молодец и сразу можешь переходить к тренировке, а если забыл - прочитай то, что разобрано далее и обрати внимание, почему в ответе необходимо записывать оба корня.
Нарисуем обе наши геометрические прогрессии - одну со значением, а другую со значением и проверим, имеют ли обе из них право на существование:
Для того, чтобы проверить, существует ли такая геометрическая прогрессия или нет, необходимо посмотреть, одинаковое ли между всеми ее заданными членами? Рассчитай q для первого и второго случая.
Видишь, почему мы должны писать два ответа? Потому что знак у искомого члена зависит от того, какой - положительный или отрицательный! А так как мы не знаем, какой он, нам необходимо писать оба ответа и с плюсом, и с минусом.
Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди, зная и
Сравни полученные ответы с правильными:
Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него. Например, нам необходимо найти, а даны и. Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу? Попробуй точно так же подтвердить или опровергнуть эту возможность, расписывая из чего состоит каждое значение, как ты делал, выводя изначально формулу, при.
Что у тебя получилось?
Теперь опять посмотри внимательно.
и, соответственно:
Из этого мы можем сделать вывод, что формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.
Таким образом, наша первоначальная формула приобретает вид:
То есть, если в первом случае мы говорили, что, то сейчас мы говорим, что может быть равен любому натуральному числу, которое меньше. Главное, чтобы был одинаков для обоих заданных чисел.
Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!
- , . Найти.
- , . Найти.
- , . Найти.
Решил? Надеюсь, ты был предельно внимателен и заметил небольшой подвох.
Сравниваем результаты.
В первых двух случаях мы спокойно применяем вышеописанную формулу и получаем следующие значения:
В третьем случае при внимательном рассмотрении порядковых номеров данных нам чисел, мы понимаем, что они не равноудалены от искомого нами числа: является предыдущим числом, а удалена на позиции, таким образом применить формулу не предоставляется возможным.
Как же ее решать? На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.
Итак, у нас есть и. Посмотрим, что с ними можно сделать? Предлагаю разделить на. Получаем:
Подставляем в формулу наши данные:
Следующим шагом мы можем найти - для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.
А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть, а найти нам необходимо, а он, в свою очередь равен:
Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:
Наш ответ: .
Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:
Дано: ,
Найти:
Сколько у тебя получилось? У меня - .
Как ты видишь, по сути, тебе необходимо запомнить лишь одну формулу - . Все остальные ты без какого-либо труда можешь вывести самостоятельно в любой момент. Для этого просто напиши на листочке самую простую геометрическую прогрессию и распиши, чему согласно вышеописанной формуле равно каждое ее число.
Сумма членов геометрической прогрессии.
Теперь рассмотрим формулы, которые позволяют нам быстро посчитать сумму членов геометрической прогрессии в заданном промежутке:
Чтобы вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, умножим все части вышестоящего уравнения на. Получим:
Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое. Что у тебя получилось?
Теперь вырази через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:
Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:
Все, что осталось сделать - выразить:
Соответственно, в этом случае.
А что если? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при. Что она из себя представляет? Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:
Как и по арифметической, так и по геометрической прогрессии существует множество легенд. Одна из них - легенда о Сете, создателе шахмат.
Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.
Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски пшеничное зерно, за вторую пшеничных зерна, за третью, за четвертую и т.д.
Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все клетки доски.
А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?
Начнем рассуждать. Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил пшеничное зерно, за вторую, за третью, за четвертую и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии. Чему равно в этом случае?
Правильно.
Всего клеток шахматной доски. Соответственно, . Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.
Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем, используя свойства степени:
Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет.
То есть:
квинтильонов квадрильонов триллиона миллиарда миллионов тысяч.
Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.
При высоте амбара м и ширине м длина его должна была бы простираться на км, - т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.
Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.
А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе человек. Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?
Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть человек. -ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:
Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:
Весь класс заболеет за дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось? Смотри, как это выглядит у меня:
Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по человека, а в классе училось человек.
Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя дня.
Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь. В нашем случае, если представить, что класс изолирован, человек из замыкают цепочку (). Таким образом, если бы человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то человек (или в общем случае) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.
Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.
Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:
А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:
или
К чему у нас стремится? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю. То есть при, будет почти равно, соответственно, при вычислении выражения мы получим почти. В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна.
- формула сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.
Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой суммы n членов, даже если или.
А теперь потренируемся.
- Найди сумму первых членов геометрической прогрессии с и.
- Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с и.
Надеюсь, ты был предельно внимателен. Сравним наши ответы:
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все, и настала пора переходить от теории к практике. Самые распространенные задачи на геометрическую прогрессию, встречающиеся на экзамене - это задачи на вычисление сложных процентов. Именно о них и пойдет речь.
Задачи на вычисление сложных процентов.
Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.
Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления - простым и сложным.
С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада. То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под, то зачислятся только в конце года. Соответственно, к окончанию вклада мы получим рублей.
Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.
Допустим, что мы кладем все те же рублей по годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?
Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.
Мы принесли в банк рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших рублей плюс процентов по ним, то есть:
Согласен?
Мы можем вынести за скобку и тогда мы получим:
Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами
В условии задачи нам сказано про годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем на - мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:
Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число? Очень просто!
Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ
проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО
. Как ты знаешь, в году месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц часть от годовых процентов:
Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.
Справился? Давай сравним результаты:
Молодец! Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.
Вот что получилось у меня:
Или, иными словами:
Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию. Напиши, чему будет равен ее член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце месяца.
Сделал? Проверяем!
Как ты видишь, если ты кладешь деньги в банк на год под простой процент, то ты получишь рублей, а если под сложный - рублей. Выгода небольшая, но так происходит только в течение -го года, а вот на более длительный период капитализация намного выгодней:
Рассмотрим еще один тип задач на сложные проценты. После того, в чем ты разобрался, это будет для тебя элементарно. Итак, задача:
Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Капитал компании «Звезда» в 2000 году.
- капитал компании «Звезда» в 2001 году.
- капитал компании «Звезда» в 2002 году.
- капитал компании «Звезда» в 2003 году.
Либо мы можем написать кратко:
Для нашего случая:
2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.
Соответственно:
рублей
Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на, ни на, так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО. То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.
Тренировка.
- Найдите член геометрической прогрессии, если известно, что, а
- Найдите сумму первых членов геометрической прогрессии, если известно, что, а
- Компания «МДМ Капитал» начала инвестировать в отрасль в 2003 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2004 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Компания «МСК Денежные потоки» стала инвестировать в отрасль в 2005 году в размере 10000 долларов, начиная получать прибыль с 2006 года в размере. На сколько долларов капитал одной компании больше другой по окончанию 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Ответы:
- Так как в условии задачи не сказано, что прогрессия бесконечная и требуется найти сумму конкретного числа ее членов, то расчет идет по формуле:
Компания «МДМ Капитал»:2003, 2004, 2005, 2006, 2007 года.
- увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.
Соответственно:
рублей
Компания «МСК Денежные потоки»:2005, 2006, 2007 года.
- увеличивается на, то есть в раза.
Соответственно:
рублей
рублей
Подведем итоги.
1) Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
2) Уравнение членов геометрической прогрессии - .
3) может принимать любые значения, кроме и.
- если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак - они положительны ;
- если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
- при - прогрессия называется бесконечно убывающей.
4) , при - свойство геометрической прогрессии (соседствующие члены)
либо
, при (равноудаленные члены)
При нахождении не стоит забывать о том, что ответа должно быть два .
Например,
5) Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
или
Если прогрессия является бесконечно убывающей, то:
или
ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.
6) Задачи на сложные проценты также вычисляются по формуле -го члена геометрической прогрессии, при условии, что денежные средства из оборота не изымались:
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме и.
- Если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак - они положительны ;
- если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
- при - прогрессия называется бесконечно убывающей.
Уравнение членов геометрической прогрессии - .
Сумма членов геометрической прогрессии
вычисляется по формуле:
или
Инструкция
10, 30, 90, 270...
Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:
1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.
Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.
Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.
Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:
Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.
Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии.
Инструкция
Если известно два соседних члена геометрической b(n+1) и b(n), чтобы получить знаменатель, надо число с большим разделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Важным условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, иначе считается неопределенной.
Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. По формуле b(n)=b1 q^(n-1) может быть вычислен любой член геометрической прогрессии, в которой известен знаменатель q и член b1. Также каждый из прогрессии по модулю равен среднему своих соседних членов: |b(n)|=√, отсюда прогрессия и получила свое .
Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y можно понимать n-й член прогрессии, если аргумент x принять за натуральное число n (счетчик).
