Доказать что биссектриса. Основные элементы треугольника abc

СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ

Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника. C B A D

Формулы длины биссектрисы:

Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника

Формула нахождения отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение Воспользуемся формулой для нахождение отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в треугольнике:   a + c = = 18  P ∆ АВС = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. Ответ: P = 30см.

Задача 2 . Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Найдите О D .

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы: Имеем: BD = BD = = По формуле отношения отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис: l = . 2 + 1 = 3 части всего.

это 1 часть  OD = Ответ: OD =

Задачи В ∆ ABC проведены биссектрисы AL и BK . Найдите длину отрезка KL , если AB = 15, AK =7,5, BL = 5. В ∆ ABC проведена биссектриса AD , а через точку D прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке Е. Найдите отношение площадей ∆ ABC и ∆ BDE , если AB = 5, AC = 7. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18см. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. 6. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b . 7. Вычислите длину биссектрисы угла А треугольника ABC с длинам сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см. 8. В треугольнике ABC длины сторон AB , BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно. Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Ответы: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP =

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $\angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

1. Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
2. И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $H\in l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:

Провели перпендикуляры к сторонам угла

Получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

1. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
2. $\angle M{{H}_{1}}O=\angle M{{H}_{2}}O=90{}^\circ $ по построению;
3. $\angle OM{{H}_{1}}=\angle OM{{H}_{2}}=90{}^\circ -\angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:

Провели луч $OM$ внутри угла

Снова получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:

1. Гипотенуза $OM$ — общая;
2. Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
3. Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.

Следовательно, треугольники $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:

Биссектриса разбила угол $\angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

Внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9 . Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке Мпродолжением стороны АВ. Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠ АВК=∠ КВС. Далее, ∠ АВК=∠ ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠ КВС=∠ ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ ВСМ=∠ ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК:К С=АВ:ВМ=АВ:ВС, что и требовалось доказать.
Теорема 10 Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершины А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника: AL :CL =AB :BC .
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL . Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.

Теорема d4. (первая формула для биссектрисы): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL? = AB·AC - LB·LC.

Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · (AL + LM) = AB · AC <=> AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность .

Теорема d5. (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2? и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, absin2? = alsin? + blsin? <=> 2absin?·cos? = (a + b)·lsin? <=> l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Теорема доказана.

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная линия с тремя звеньями, или фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 1).

Основные элементы треугольника abc

Вершины – точки A, B, и C;

Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;

Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника (2, стр. 534).

Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника

Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы исредние линии.

Высота

Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны.

Для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, провести отрезок из точки к этой прямой, составляющий с ней угол 90 градусов.

Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 2).

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.

Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Медиана

Медианы (от лат. mediana– «средняя») – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 3).

Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1) найти середину стороны;

2)соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектрисами (от лат. bis – дважды» и seko – рассекаю) называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы (см. рис. 4).

Для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1) построить луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части (биссектрису угла);

2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3) выделить отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.

Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка - центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

Сорокина Вика

Приведено доказательства свойств биссектрисы треугольника и рассмотрено применение теориик решению задач

Скачать:

Предварительный просмотр:

Комитет по образованию администрации г. Саратова, Октябрьский район Муниципальное автономное образовательное учреждение Лицей №3 им. А. С. Пушкина.

Муниципальная научно-практическая

конференция

«Первые ступени»

Тема: Биссектриса и ее свойства.

Работу выполнила: ученица 8 г класса

Сорокина Виктория Научный руководитель: Учитель математики высшей категории Попова Нина Федоровна.

Саратов 2011 г

1. Титульный лист…………………………………………………………...1
2. Содержание ………………………………………………………………2
3. Введение и цели………………………………………………………... ..3
4. Рассмотрение свойств биссектрисы

• Третье геометрическое место точек………………………………….3
• Теорема 1……………………………………………………………....4
• Теорема 2………………………………………………………………4
• Основное свойство биссектрисы треугольника:

1. Теорема 3……………………………………………………………...4
2. Задача 1…………………………………………………………… ….7
3. Задача 2……………………………………………………………….8
4. Задача 3…………………………………………………………….....9
5. Задача 4…………………………………………………………….9-10

• Теорема 4…………………………………………………………10-11
• Формулы нахождения биссектрисы:

1. Теорема 5…………………………………………………………….11
2. Теорема 6…………………………………………………………….11
3. Теорема 7…………………………………………………………….12
4. Задача 5…………………………………………………………...12-13

• Теорема 8…………………………………………………………….13
• Задача 6………………………………………………………...…….14
• Задача 7……………………………………………………………14-15
• Определение с помощью биссектрисы сторон света………………15

1. Заключение и вывод……………………………………………………..15
2. Список используемой литературы ……………………………………..16

Биссектриса

На уроке геометрии, изучая тему подобные треугольники, я встретилась с задачей на теорему об отношении биссектрисы к противолежащим сторонам. Казалось бы, что может быть интересного в теме биссектриса, однако эта тема меня заинтересовала, и мне захотелось изучить ее глубже. Ведь биссектриса очень богата своими удивительными свойствами, помогающими решать разные задачи.

При рассмотрении данной темы можно заметить,что в учебниках геометрии очень мало говорится о свойствах биссектрисы, а на экзаменах, зная их можно значительно проще и быстрее решать задачи. К тому же для сдачи ГИА и ЕГЭ современным ученикам нужно самим изучать дополнительные материалы к школьной программе. Именно поэтому я и решила подробнее изучить тему биссектриса.

Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла - луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части. Биссектриса угла (вместе с её продолжением) есть геометрическое место точек равноудалённых от сторон угла (или их продолжений )

Третье геометрическое место точек

Фигура F является геометрическим местом точек (множеством точек), обладающих некоторым свойством А, если выполняются два условия:

1. из того, что точка принадлежит фигуре F, следует, что она обладает свойством А;
2. из того, что точка удовлетворяет свойству А, следует, что она принадлежит фигуре F.

Первое геометрическое место точек, рассматриваемое в геометрии - это окружность, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки. Второе - серединный перпендикуляр отрезка, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от конца отрезка. И, наконец, третье - биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла

Теорема 1:

Точки биссектрисы одинаково удалены от стор он угла.

Доказательство:

Пусть Р - точка биссектрисы А. Опустим из точки Р перпендикуляры РВ и PC на стороны угла . Тогда ВАР = САР по гипотенузе и острому углу . Отсюда, РВ = PC

Теорема 2 :

Если точка Р одинаково удалена от сторон угла А, то она лежит на биссектрисе .

Доказательство: РВ = PC => ВАР = САP => BAP= CAP => АР – биссектриса.

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о том, что биссектриса делит противолежащую сторону в отношении противолежащих сторон. Этот факт долго оставался в тени но повсеместно встречаются задачи, которые гораздо легче решать, если знать этот и другие факты о биссектрисе. Мне стало интересно, и я решила глубже исследовать это свойство биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла треугольника

Теорема 3 . Биссектриса делит противолежащую сторону треугольника в отношении прилежащих сторон .

Доказательство 1:

Дано : AL - биссектриса треугольника ABC

Доказать:

Доказательство: Пусть F - точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку В параллельно стороне АС.

Тогда BFA = FАС = BAF. Следовательно, BAF равнобедренный и АВ = BF. Из подобия треугольников ALC и FLB имеем

соотношение

откуда

Доказательство 2

Пусть F- точка пересеченная прямой AL и прямой, проходящей через точку С параллельно основанию АВ. Тогда можно повторить рассуждения.

Доказательство 3

Пусть К и М - основания перпендикуляров, опущенных на прямую AL из точек В и С соответственно. Треугольники ABL и ACL подобны по двум углам. Поэтому
. А из подобия BKL и CML имеем

Отсюда

Доказательство 4

Применим метод площадей. Вычислим площади треугольников ABL и ACL двумя способами.

Отсюда .

Доказательство 5

Пусть α= ВАС,φ= BLA. По теореме синусов в треугольнике ABL

А в треугольнике ACL .

Так как ,

То, поделив обе части равенства на соответствующие части другого, получим .

Задача 1

Дано: В треугольнике ABC, ВК – биссектриса, ВС=2, КС=1,

Решение:

Задача 2

Дано:

Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18

Решение:

Пусть катет AC = 18, катет BC = 24,

AM - биссектриса треугольника.

По теореме Пифагора находим,

что AB = 30.

Поскольку , то

Аналогично найдем вторую биссектрису.

Ответ:

Задача 3

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC

В точке D . Известно, что BD = 4, DC = 6.

Найдите площадь треугольника ADC

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника

Обозначим AB = 2 x , AC = 3 x . По теореме

Пифагора BC 2 + AB 2 = AC 2 , или 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Отсюда находим, что x = Тогда AB = , S ABC=

Следовательно,

Задача 4

Дано:

В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 10, основание AC равно 12.

Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке D . Найдите BD .

Решение:

Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в

Одной точке, то BD - биссектриса B . Продолжим BD до пересечения с AC в точке M . Тогда M - середина AC , BM AC . Поэтому

Поскольку CD - биссектриса треугольника BMC , то

Следовательно,.

Ответ:

Теорема 4 . Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.

Формулы нахождения биссектрисы
Теорема5: (первая формула для биссектрисы ): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой A, то AL² = AB·AC - LB·LC.

Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать.

Теорема6: . (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и A, равным 2α и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cosα.

Доказательство : Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса, a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα·cosα = (a + b)·l sinα l = 2·(ab / (a+b))· cosα. Теорема доказана.

Теорема 7: Если a,b – стороны треугольника,Ү- угол между ними, - биссектриса этого угла. Тогда .